2017-12-14
1837
·
Вин (1893г.) воспользовался, кроме термодинамики, электромагнитной теорией и показал, что функция спектрального распределения должна иметь вид
где F - некоторая функция отношения частоты к температуре.
Для функции 
получается выражение
, (1.3)
где 
- некоторая функция произведения 
.
Соотношение (1.3) позволяет установить зависимость между длиной волны 
, на которую приходится максимум функции , и температурой.
Продифференцируем это выражение по 
:
(1.4)
Выражение в квадратных скобках представляет собой некоторую функцию 
.
При длине волны 
, соответствующей максимуму функции 
, выражение (1.4) должно обращаться в ноль, и, т.к. 
, то =0.
Решение этого уравнения приводит к соотношению:
- закона смещения Вина
Здесь 
- постоянная Вина.
Длина волны, соответствующая максимальному значению испускательной способности r?T абсолютно чёрного тела, обратно пропорциональна его температуре.
Из этого закона видно, что при понижении температуры абсолютно чёрного тела максимум энергии его излучения смещается в область длинных волн.
Поэтому при понижении температуры белое каление переходит в красное, а затем в инфракрасное.
б ) Исследования Рэлея и Джинса.
Физики Рэлей и Джинс представили абсолютно чёрное излучение в замкнутой полости как систему бесконечно большого числа не взаимодействующих друг с другом гармонических осциллятора (радиационных осцилляторов).
Собственные частоты? колебаний радиационных осцилляторов равны частотам соответствующих монохроматических компонент чёрного излучения.
Рэлей и Джинс в своих исследованиях
·
исходили из теоремы классической статистики о равнораспределении энергии по степеням свободы.
·
считали, что на каждое электромагнитное колебание радиационного осциллятора приходится энергия, равная двум половинкам kТ – одна - на электрическую, другая - на магнитную, и получили следующий вид функции Кирхгофа:
.
Это выражение называется формулой Рэлея-Джинса.
Она хорошо согласуется с экспериментом в области малых частот излучения.
В области же больших частот формула приводит к резкому расхождению с экспериментом, с законами Стефана-Больцмана и Вина.
Из формулы Рэлея-Джинса следует монотонное возрастание функции f (?,T) с ростом частоты, а на самом деле f (?,T) имеет максимум и далее убывает (рис.1.4).
Ф 
ормула Рэлея-Джинса в области больших частот находится в противоречии с законом сохранения энергии (энергия излучения неограниченно растёт с ростом температуры). Этот результат был назван ультрафиолетовой катастрофой.
в) Формула Планка.
С классической точки зрения вывод формулы Рэлея и Джинса является безупречным. Поэтому расхождение ее с опытом указывало на существование каких-то закономерностей, несовместимых с представлениями классической физики.
В 1900 г. Макс Планк:
·
предположил, что гипотеза о непрерывном изменении энергии системы, господствовавшая в классической физике, неприменима к радиационным осцилляторам, а следовательно, к молекулам и атомам излучающего тела, обменивающегося энергией с этими осцилляторами.
·
энергия осцилляторов может принимать лишь определённые дискретные значения, равные целому числу элементарных порций энергии
– квантов энергии.
Энергия кванта пропорциональна частоте излучения,
Таким образом, излучение и поглощение энергии телом происходит не непрерывно, а дискретно, квантами.
ћ – постоянная Планка:
·
ћ = 1,054 · 10 
Дж·с,
·
имеет размерность «энергия · время».
·
в механике называется действием, поэтому ћ иногда называют квантом действия.
В состоянии равновесия распределение колебаний по значениям энергии должно подчиняться закону Больцмана.
Вероятность того, что энергия колебания частоты 
имеет значение 
, равна
Среднее значение энергии колебаний
Чтобы произвести вычисления, обозначим 
и будем считать, что х может принимать непрерывный ряд значений. Тогда
(1.5)
Под знаком логарифма в этой формуле стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии с первым членом, равным 
. Так как знаменатель меньше единицы, прогрессия убывающая, и
Подставив эту сумму в (5), получаем
При 
получаем классическое выражение 
Таким образом, если бы энергия могла принимать непрерывный ряд значений, ее среднее значение было бы равно 
Плотность энергии, приходящаяся на частотный интервал 
тогда 
и
. (1.6)
Это формула Планка: точно согласуется с экспериментом в интервале частот от 0 до 
и удовлетворяет критерию Вина 
.
При малых частотах 
<<1, поэтому можно считать, что 
, тогда 
- формула Планка переходит в формулу Рэлея–Джинса. Таким образом, формула Рэлея-Джинса является частным случаем формулы Планка для малых частот.
Интегрируя выражение (1.6)и решая уравнение относительно переменной x = 
, можно получить закон смещения Вина. Таким образом, формула Планка даёт полное описание равновесного теплового излучения.
2. Квантовая механика
Физические явления и законы, их описывающие, принято разделять на классические и современные.
·
Современная физика опирается на представления о волновой природе вещества, которые возникли в конце 20-х гг.
·
Все остальное – классическая физика.
Такие явления как дифракция, интерференция объясняются только волновой теорией. Однако далее будет показано, что и всем частицам (телам) в разной степени присущи волновые свойства, которые значительно влияют на их поведение.
Вытекающие из представлений о волновой природе вещества основные положения, составляют предмет квантовой механики.
Совершим небольшой экскурс в развитие классической физики.
Классическая физика основывалась на законах Ньютона. Она успешно объясняла падение тел, полет снарядов, движение искусственных спутников Земли и другие случаи макроскопического движения (движение тел с малыми скоростями и большими постоянными массами). Механика Ньютона дала нам законы сохранения импульса, момента импульса и энергии. Законы Ньютона и атомно-молекулярные представления о строении вещества легли в основу кинетической теории тепла.
Используя понятия заряда и основные законы теории электричества, Максвелл дал объяснение многообразным электрическим и магнитным явлениям, создал в 1870 г. теорию света – самое значительное достижение классической физики.
Рассмотрение движения тел со скоростями, близкими к скорости света, трудности в теории эфира при объяснении результатов опыта Морли-Майкельсона, послужили поводом к созданию в 1905 г. Эйнштейном специальной теории относительности, столь противоречащей здравому смыслу.
Мы увидим, что волновая природа вещества, корпускулярно - волновой дуализм и их следствия еще более противоречат здравому смыслу. Волновая природа вещества качественно проявляется в том, что каждой частице присущи свойства волны, и наоборот, каждая волна имеет свойства, характерные для частиц. Ярким примером такого дуализма является фотоэффект.
2.1 Фотоэффект
Испускание электронов веществом под действием света называется фотоэффектом.
Внешний фотоэффект (или фотоэлектронная эмиссия). - если испускание электронов происходит с поверхности твердых тел или жидкости.
Внутренний фотоэффект – это перераспределение электронов по энергетическим уровням под действием света.
Фотоэффект в газах состоит в ионизации атомов и молекул под действием света и называется фотоионизацией.
Электроны, вылетевшие из вещества при внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами, а электрический ток, который возникает при упорядоченном движении фотоэлектронов, называется фототоком.
·
Явление фотоэффекта было впервые обнаружено Герцем в 1887 г. Изучая искровой электрический разряд, он заметил, что ультрафиолетовое излучение в области искрового промежутка облегчает разряд.
·
В 1888 г. Гальвакс установил, что причиной этого является появление при облучении свободных зарядов.
·
Подробное изучение фотоэффекта провел Столетов. Освещая дугой металлическую пластину, он установил, что при этом пластина теряет заряд только в тех случаях, когда она предварительно была заряжена отрицательно.
Схема опытов Столетова имеет вид, представленный на рис.1
Медная сетка С и цинковая пластина Д служат обкладками плоского конденсатора.
Этот конденсатор включен через гальванометр в сеть батареи Б.
При освещении отрицательно заряженной пластины Д светом от источника S в цепи возникает электрический ток, который называют фототоком.
На основании своих опытов Столетов установил следующие закономерности фотоэффекта:
1) Под действием света вещество теряет только отрицательные заряды;
2) Явление вызывается преимущественно ультрафиолетовыми лучами;
3) Разряжающее действие лучей пропорционально мощности подающего излучения;
4) Разрежающее действие лучей обнаруживается даже при весьма кратковременном освещении, причем между моментом освещения и началом разряда не протекает заметного времени. Фотоэффект практически безынерционен.
Было обнаружено, что частицы, испускаемые при фотоэффекте- электроны.
Позднее установка Столетова была усовершенствована (рис.2).
Электроды были помещены в вакуумный баллон.
Свет, проникающий через кварцевое окошкоКв,
освещает катодК, изготовленный из исследуемого материала.
Электроны, испущенные вследствие фотоэффекта, перемещаются под действием электрического поля к аноду А.
В результате в цепи прибора течет фототок, регистрируемый гальванометром.
Напряжение между катодом и анодом можно менять помощью потенциометра П.
Вольтамперной характеристикой прибора называется зависимость тока, проходящего через прибор от напряжения.
на рис.3- Вольтамперная характеристика фотоэффекта.
ВАХ снимается при неизменном световом потоке Ф. При некотором напряжении фототок достигает насыщения, все электроны, испущенные катодом, достигают анода.
Таким образом, плотность тока насыщения 
определяется количеством электронов, испускаемых катодом в единицу времени под действием света:
,
где n – число электронов, вылетающих из катода за 1 секунду,
е – заряд электрона,
- его скорость.
Пологий ход кривой указывает на то, что электроны вылетают из катода с различными по величине скоростями.
Часть электронов при отсутствии поля, т.е. при U = 0, обладает скоростями, достаточными для того, чтобы достичь анода без тока. Поэтому при U = 0 сила тока отлична от нуля и равна 
. Чтобы сила тока стала равна нулю, нужно приложить задерживающее напряжение U3. При таком напряжении ни один из электронов выбитых с катода, не достигнет анода, т.е. энергия электрона будет полностью израсходована на работу против сил электрического поля, созданного между катодом и анодом:
Измерив задерживающее напряжение U3, можно оценить максимальную кинетическую энергию фотоэлектрона и его максимальную скорость:
Н 
еобходимо заметить, что получение точных результатов сильно затрудняют два обстоятельства:
1) экспериментальная кривая I(U) в области U 1 (см. рис. 4) подходит к оси U практически асимптотически, вследствие чего определение U lдовольно неопределенно;
2) всю кривую I (U) смещает (влево или вправо) наличие так называемой контактной разности потенциалов, т. е. разности потенциалов, которая возникает между двумя различными металлами (катод К и анод А изготовляют по необходимости из различных металлов). Причем известно,
·
что контактная разность потенциалов между катодом и анодом не зависит от природы проводников, их соединяющих.
·
Если контактная разностьпотенциалов есть и, например, такова, что тормозит вылетающие из катода фотоэлектроны, то приходится прикладывать внешнее напряжение U (измеряемое вольтметром). И если это напряжение таково, что компенсирует тормозящую контактную разность потенциалов, то начало горизонтального участка (тока насыщения) — точка 2на рис. 4 — сдвинется вправо, в сторону положительных значений показания вольтметра U.
Таким образом, задерживающая разность потенциалов U 3 будет равна (по модулю) сумме
U 3 = U 2 + |U 1 |= U 2 – U 1 (1)
как показано на рис. 4, где U 1 < 0. Заметим, что, вообще говоря, U 1 есть величина алгебраическая, она может иметь любой знак или равняться нулю.
·
Если контактная разность потенциалов не тормозит, а ускоряет фотоэлектроны, т.е. имеет противоположный знак, то характеристика фотоэлемента I (U)вместе с точкой 2сместится влево. При этом выражение (1) для U 3остается прежним, только в нем оба показания вольтметра (U 2и U 1 ) могут оказаться отрицательными, но их разность по-прежнему будет положительной и равной U 3.
Итак, определив U3, мы тем самым находим максимальную кинетическую энергию фотоэлектронов
.
Отметим, что положение точки 2 на рис. 4, т. е. показание вольтметра U = U 2,зависит только от контактной разности потенциалов, положение же точки 1, т.е. показание U 1 вольтметра — от частоты падающего света. Значит, и задерживающая разность потенциалов U 3тоже зависит от .
Если построить экспериментальный график зависимости E макс(), то получается прямая (рис. 5):
·
Точка пересечения прямой с осью абсцисс определяет частоту 
, соответствующую красной границе фотоэффекта,
·
точка пересечения продолжения прямой с осью ординат —работу выхода А.
Если же на оси ординат откладывать U 1, (показание вольтметра, при котором фототок обращается в нуль), то отмеченные две точки не будут соответствовать? 0 и А (из-за наличия контактной разности потенциалов).
Экспериментально были установлены следующие законы фотоэффекта:
1. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов определяется частотой света и не зависит от его интенсивности;
2. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света , при которой фотоэффект еще возможен. Величина 
зависит от химической природы вещества и состояния его поверхности.
3. Число фотоэлектронов выбиваемых с катода в единицу времени, n, пропорционально световому потоку Ф, падающему на поверхность (или интенсивности света). Это закон Столетова.
Классическая физика не смогла объяснить законов фотоэффекта. С ее точки зрения амплитуда колебаний свободного электрона в переменном электрическом поле 
определяется выражением
где m – масса электрона,
– частота изменения тока.
Электрон, расположенный вблизи поверхности, покинет металл, как только амплитуда его колебаний А превысит некоторое критическое значение. Поэтому из волновой теории следует, что электроны не будут вылетать из металла до тех пор, пока интенсивность падающего света 
не превысит определенного критического значения. Однако в ходе экспериментальных исследований пороговой интенсивности обнаружено не было. Число вылетающих электронов пропорционально при любой сколь угодно малой интенсивности.
Кинетическая энергия электронов менялась в интервале от 0 до Еk max, и не было электронов с энергией большей Еk max. Изменение кинетической энергии происходит с увеличением частоты падающего света линейно (рис.1.9).
Правильное объяснение фотоэффекта дал Эйнштейн в 1905 г.:
Свет представляет собой совокупность квантов, каждый из которых обладает энергией 
= ћ , где ħ – постоянная Планка.
Эти кванты (фотоны) ведут себя подобно материальным частицам, при столкновении с электроном в металле фотон может поглотиться, и вся его энергия перейдет к электрону.
Планк полагал, что излучение отдается излучающими системами порциями ħ , но само это излучение может иметь любую энергию и поглощаться в любых количествах непрерывно.
Эйнштейн ж е приписал корпускулярные свойства самому излучению, и отдача энергии ħ при излучении объясняется тем простым фактом, что никаких других порций излучения частоты существовать в природе не может.
Монохроматическое излучение частоты состоит всегда из целого числа фотонов, энергия каждого из них равна ħ . Такое излучение испускается и поглощается только порциями энергии ħ . При поглощении излучения частоты веществом каждый из электронов может поглотить один фотон, приобретая при этом энергию ħ и никакую другую.
Пусть для удаления поверхностного электрона из металла необходимо затратить энергию А, тогда поглотив фотон с энергией ħ и вылетев с поверхности, электрон будет иметь энергию ħ –А.
Это и есть максимально возможная кинетическая энергия:
(1)
величина А называется работой выхода электрона из металла, она зависит от свойств данного металла.
Формула (1) представляет собой закон сохранения для фотоэффекта и называется уравнением Эйнштейна для фотоэффекта.
Это соотношение согласуется с экспериментальной кривой на рис.1.9.
2.2 Масса и импульс фотона
Итак, энергия фотона равна 
= 
.
Воспользуемся законом взаимосвязи массы и энергии:
, где 
– масса фотона.
Отсюда:
где с – скорость света в вакууме.
Фотон всегда движется со скоростью света, его масса покоя равна нулю.
Как всякая частица, фотон обладает массой, энергией и импульсом.
Импульс фотона:
где? – длина волны света в вакууме.
Так как k = 2?/? то 
или в векторной форме
Связь импульса фотона 
с его энергией Еf получена из общей формулы теории относительности:
для фотона m0 = 0 и
Импульс фотона – векторная величина, направление импульса совпадает с направлением распространения света, которое характеризуется волновым вектором 
.
Корпускулярные свойства фотона (энергия, импульс и масса) связаны с волновой характеристикой – частотой света .
Экспериментальным подтверждением наличия у фотонов массы и импульса является существование светового давления. С квантовой точки зрения давление света вызвано тем, что при соударении с поверхностью тела каждый фотон передает этой поверхности свой импульс.
Эффект Комптона
К 
омптон (1923) открыл явление, в котором можно было наблюдать, что фотону присущи энергия и импульс. Результаты этого опыта — еще одно убедительное подтверждение гипотезы Эйнштейна о квантовой природе самого электромагнитного излучения.
Комптон исследовал рассеяние жесткого рентгеновского излучения на образцах, состоящих из легких атомов, таких как графит, парафин и др.
Схема его установки показана на рис. 1.14
- Источником рентгеновского излучения служила рентгеновская трубка с молибденовым антикатодом.
- Диафрагмы 
и D 2 выделяли узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения, который падал затем на исследуемый образец О.
- Для исследования спектрального состава рассеянного излучения оно после прохождения ряда диафрагм попадало на кристалл К рентгеновского спектрографа, а затем в счетчикС (или на фотопластинку).
Комптон обнаружил, что в рассеянном излучении, наряду с исходной длиной волны?, появляется смещенная линия с длиной волны 
. Это получило название комптоновского смещения, асамо явление — эффекта Комптона.
Опыт показал, что наблюдаемое комптоновское смещение 
·
не зависит от материала рассеивающего образца и длины волны? падающего излучения,
·
о 
пределяется лишь углом между направлениями рассеянного и падающего излучений (см. рис. 1.15).
С увеличением угла интенсивность смещенной компоненты растет, а несмещенной — падает. Это показано на рис., где представлены результаты измерений на графите при различных углах рассеяния для так называемой Кa- линии молибдена, имеющей длину волны 0,071 нм.
Слева показана форма линии исходного излучения (т. е. спектральное распределение интенсивности по длинам волн).
Правее — то же самое для рассеянного излучения при различных углах рассеяния.
Классическая теория оказалась не в состоянии объяснить закономерности комптоновского рассеяния и в первую очередь появление смещенной компоненты. Они были поняты только на основе квантовой теории.
Комптон предположил, что рассеяние рентгеновского кванта с изменением длины волны надо рассматривать как результат одиночного акта столкновения его с электроном.
В атомах легких элементов, с которыми проводились опыты, энергия связи электрона с атомом мала по сравнению с энергией, передаваемой электрону рентгеновским квантом при столкновении. Это выполняется тем лучше, чем больше угол рассеяния. В легких атомах энергией связи электрона внутри атома можно пренебречь при всех углах рассеяния, т. е. все электроны можно считать свободными. Тогда одинаковость комптоновского смещения для всех веществ сразу становится понятной. Действительно, ведь с самого начала предполагается, что рассеивающее вещество по существу состоит только из свободных электронов, т. е. индивидуальные особенности совсем не учитываются. Но это допустимо только для легких атомов. Для внутренних электронов тяжелых атомов такое представление не годится, что и подтверждает опыт.
Теперь рассмотрим столкновение фотона со свободным электроном с учетом того, что при этом должны соблюдаться законы сохранения энергии и импульса. Поскольку в результате столкновения электрон может стать релятивистским, этот процесс будем рассматривать на основе релятивистской динамики.
·
свет, переносящий энергию 
, обладает импульсом 
и может вести себя подобно частице.
·
При фотоэффекте этот импульс передается всему образцу металла и испускаемому из него электрону.
·
Импульс, переданный металлу, очень мал и не может быть измерен, однако при столкновении фотона со свободным электроном величину передаваемого импульса можно измерить.
Найдем связь длины волны рассеянного фотона с углом рассеяния и длиной волны фотона до соударения.
Пусть
·
на первоначально покоившийся свободный электрон с энергией покоя 
падает фотон с энергией и импульсом ?/с.
·
После столкновения энергия фотона станет равной 
, а энергия и импульс электрона отдачи E ' и p'.
·
Согласно законам сохранения энергии и импульса системы фотон-электрон, запишем до и после столкновения следующие равенства:
, (1)
, (2)
где второе равенство записано на основе теоремы косинусов для треугольника импульсов (рис. 1.16).
Имея в виду, что связь между энергией и импульсом релятивистского электрона имеет вид
(3)
найдем 
из формулы (1) и 
из (2):
Вычтя в соответствии с (3) выражение (5) из (4) и приравняв полученный результат m 2 c 4, получим после сокращений:
. (6)
Остается учесть, что , 
, а также связь между и , и мы получим:
, (7)
где? c — комптоновская длина волны частицы массы т,
. (8)
Для электрона c=2,43·10-10см.
Универсальная постоянная?c является одной из важнейших атомных констант.
Соотношение (7) очень хорошо согласуется с наблюдаемой на опыте зависимостью комптоновского смещения от угла рассеяния? (см. рис.). Уширение обеих компонент рассеянного излучения обусловлено движением электронов и атомов, на которых происходит рассеяние, т. е. эффектом Доплера.
Наличие несмещенной компоненты в рассеянном излучении обусловлено внутренними электронами атомов рассеивающего вещества. Их энергия связи, особенно в тяжелых атомах, сравнима с энергией рентгеновских фотонов, и, значит, такие электроны уже нельзя считать свободными. Обмен энергией и импульсом рентгеновского фотона происходит с атомом как целым. Масса же атома намного превышает массу электрона, поэтому комптоновское смещение фотонов, рассеянных на таких атомах, ничтожно, и их смещенная длина волны 
практически совпадает с длиной волны падающего излучения. Это, кстати, сразу видно из формул (7) и (8).
С ростом атомного номера относительное число связанных электронов увеличивается. Поэтому должно происходить возрастание интенсивности несмещенной компоненты по сравнению с интенсивностью смещенной. Это и наблюдается на опыте.
Кроме того, с ростом угла рассеяния? доля передаваемой электрону энергии возрастает.
Отсюда следует, что при увеличении угла рассеяния? растет относительная доля электронов, которые можно считать свободными, а значит, растет и отношение интенсивности смещенной компоненты к интенсивности несмещенной, что и показывает опыт.
Итак, чем больше энергия фотона, тем в меньшей степени проявляется связь электрона с атомом, тем больше электронов, которые можно считать свободными. Именно поэтому для наблюдения эффекта Комптона нужно использовать жесткое рентгеновское излучение. Вот почему эффект Комптона не наблюдается в видимой области спектра. Энергия соответствующих фотонов настолько мала, что даже внешние электроны атома не могут играть роль свободных.
Опыты Боте и Гейгера (1925) доказали, что электрон отдачи и рассеянный фотон появляются одновременно.
С 
хема опыта показана на рис. 1.17,
где X — источник рентгеновского излучения,
Р — рассеиватель, в котором под действием излучения происходит Комптон-эффект,
Ф и Э — счетчики рассеянных фотонов и электронов отдачи.
Эти счетчики установлены симметрично относительно рассеивателя Р и включены в схему совпадений С, т. е. в электрическую схему, которая позволяет регистрировать лишь те случаи, когда фотон и электрон в счетчиках Ф и Э появляются одновременно. В результате было установлено, что число одновременных регистраций фотона и электрона в счетчиках во много раз превосходит то число, которое можно было ожидать при случайном по времени появлении фотона и электрона. Так было доказано существование индивидуального столкновения фотона с электроном.
Рассмотрим обратный эффект Комптона.
При столкновении с релятивистским электроном фотон рассеялся на угол?, а электрон остановился.
Найдем комптоновское смещение длины волны рассеянного фотона.
Согласно закону сохранения импульса
,
где 
и 
— волновые векторы первоначального и рассеянного фотонов,
— импульс электрона (рис. 5).
Из этого рисунка согласно теореме косинусов имеем
, (9)
где учтено, что 
; 
,
и 
— энергия фотона до и после рассеяния.
На основании закона сохранения энергии запишем 
,
где Е – полная энергия электрона, m – его масса покоя.
Из этого равенства найдем 
. (10)
Теперь воспользуемся равенством
,
вычтем (9) из(10). В результате после сокращений получим:
, (11),
Или
Из последнего выражения находим: 
т.е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.
2.4. Рассмотрим некоторые примеры рассеяния фотонов.
а) Давление света.
Плоский световой поток интенсивности I освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса R.
Найдем с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой.
Для простоты будем считать падающий свет монохроматическим с частотой?.
Как это отразится на окончательном результате, мы увидим.
Сначала найдем силу dF, действующую на элементарное кольцо dS (рис. 6) в направлении оси X.
При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс ∆ px (рис. 7):
, где p = ħ?/c.
Число фотонов, падающих ежесекундно на элементарное кольцо dS (см. рис. 6), равно 
, где 
.
Тогда
.
Частота света сократилась, значит она не играет здесь роли.
Проинтегрировав последнее выражение по? от 0 до? /2, получим
.
Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.
б) Эффект Доплера.
Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью 
, испустил фотон под углом? к первоначальному направлению движения атома.
Найдем с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение фотона, обусловленной отдачей атома.
Пусть «закрепленный» неподвижный атом при переходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией ћ .
Разность энергий указанных состояний атома равна вне зависимости от того покоится атом, или движется.
При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Имеется и кинетическая энергия атома.
Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис.1.21)
и 
,
где Е* - энергия возбуждения атома, Е *= , а 
.
Исключив из этих двух уравнений p ’2, получим:
Учитывая, что энергия фотона 
и 
перед скобкой можно заменить на (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:
где 
. Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера.
2.5. Тормозное рентгеновское излучение
Если энергия кванта значительно превышает работу выхода А,
то уравнение Эйнштейна принимает более простой вид:
= 
. (1)
Эту формулу можно интерпретировать и иначе: не как переход энергии светового кванта в кинетическую энергию электрона, а наоборот, как переход кинетической энергии электронов, ускоренных разностью потенциалов U, в энергию квантов, возникающих при резком торможении электронов в металле.
Тогда
eU= .
Именно такой процесс происходит в рентгеновской трубке.
Она представляет собой вакуумный баллон, в котором находится:
- нагреваемый током катод — источник термоэлектронов,
- и расположенный напротив анод, часто называемый антикатодом. Ускорение электронов осуществляется высоким напряжением U, создаваемым между катодом и антикатодом.
Под действием напряжения U электроны разгоняются до энергии eU.
Попав в металлический антикатод, электроны резко тормозятся, вследствие чего и возникает так называемое тормозное рентгеновское излучение. Спектр этого излучения при разложении по длинам волн оказывается сплошным, как и спектр видимого белого света.
На рис.8 показаны экспериментальные кривые распределения интенсивности I? ( т.е. 
) по длинам волн , полученные для разных значений ускоряющего напряжения U (они указаны на рисунке).
И здесь мы обнаруживаем наличие коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра.
В целом процесс излучения при торможении электрона в металле антикатода весьма сложен, но существование коротковолновой границы с корпускулярной точки зрения имеет очень простое объяснение.
Действительно, если излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении, то величина кванта не может быть больше энергии электрона eU. Отсюда следует, что частота излучения не может превышать значения
.
Значит, длина волны излучения не может быть меньше, чем
где U, кВ, а ?мин, нм.
Существование такой границы является одним из наиболее ярких проявлений квантовых свойств рентгеновского излучения.
По измерению зависимости граничной частоты от ускоряющего напряжения можно с высокой точностью определить значение постоянной Планка.
При этом получается хорошее согласие со значениями, найденными из теплового излучения и фотоэффекта, что экспериментально доказывает выполнение соотношения ?= между энергией кванта и частотой для очень широкого диапазона спектра и указывает на универсальность данного соотношения.
Метод определения постоянной Планка, основанный на измерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского излучения, является наиболее точным. Его называют методом изохромат.
Этот метод заключается в том, что:
·
спектрометр для рентгеновского излучения устанавливают так, чтобы в счетчик попадало излучение одной и той же определенной длины волны,
·
и измеряют интенсивность I? в зависимости от приложенного рентгеновской трубке напряжения U.
·
у 
меньшая напряжение U,получают зависимость интенсивности I? от напряжения U. Эта зависимость для трех длин волн показана на рис. 9.
·
Экстраполируя каждую из кривых до пересечения с осью абсцисс, находят U0, а затем и постоянную Планка:
,
где е — заряд электрона.
2.6. Корпускулярно-волновой дуализм света
Корпускулярную природу света подтверждают эффект Комптона и фотоэффект.
Свет ведет себя как поток частиц – фотонов. Тогда как же частица может обнаруживать свойства, присущие классическим волнам? Ведь частица может пройти либо через одну, либо через другую щель. Однако известна интерференция света от двух щелей (опыт Юнга). Таким образом, мы пришли к парадоксу – свет обладает одновременно и свойствами корпускул, и свойствами волн. Поэтому говорят, что свету свойственен корпускулярно-волновой дуализм.
Противопоставление квантовых и волновых свойств света друг другу является ошибочным. Свойства непрерывности электромагнитного поля световой волны не исключают свойства дискретности, характерных для световых квантов – фотонов.
Свет одновременно обладает свойствами непрерывных электромагнитных волн и свойствами дискретных фотонов. Он представляет собой диалектическое единство этих свойств.
·
С уменьшением длины волны все более отчетливо проявляются квантовые свойства света (с этим связано, например, существование красной границы фотоэффекта).
·
Волновые же свойства у коротковолнового излучения проявляются весьма слабо (например, дифракция у рентгеновских лучей). У длинноволнового же излучения квантовые свойства проявляются слабо и основную роль играют волновые свойства.
Взаимосвязь корпускулярно-волновых свойств света объясняется статистическим подходом к исследованию распространения света. Свет – это поток дискретных частиц – фотонов, в которых локализованы энергия, импульс и масса излучения. Взаимодействие фотонов с веществом при переходе через какую-нибудь оптическую систему приводит к перераспределению фотонов в пространстве и возникновению дифракционной картины. При этом квадрат амплитуды световой волны в какой-либо точке пространства является мерой вероятности попадания фотонов в эту точку.
Таким образом,
·
корпускулярные свойства света связаны с тем, что энергия, масса и импульс излучения локализованы в дискретных фотонах,
·
волновые – со статистическими закономерностями распределения фотонов в пространстве.
С точки зрения волновых представлений механизм рассеяния состоит «в раскачивании» электронов электромагнитным полем падающей волны. Колеблющийся электрон должен в свою очередь излучать электромагнитную волну, имеющую частоту, равную частоте колебаний электрона, т.е. частоте падающей волны. Таким образом, свободные электроны рассеивают излучение, причем частота рассеянных волн должна равняться частоте падающих.
С помощью рентгеновского спектрометра
(изображен на рис.1) А.Комптон произвел точные измерения длины волны рентгеновских лучей, рассеянных на мишени. А.Комптон обнаружил (см. рис.2), что излучение бывает двух сортов: у одного длина волны совпадает с длиной волны первичного излучения (пунктирная кривая), а другое обладает бóльшей длиной волны (сплошная кривая). Им были установлены две особенности процесса: 1) разность длин волн рассеянного и первичного излучений не зависит от природы рассеивателя и длины волны первичного излучения; 2) при возрастании атомного номера рассеивателя интенсивность несмещенной линии возрастает, интенсивность смещенной линии падает.
Теоретическую интерпретацию этому явлению дали А. Комптон и П. Дебай. Эффект становится объяснимым, если полагать, что электромагнитное излучение представляет поток фотонов, каждый из которых обладает энергией hν и импульсом. Т.е. фотон ведет себя, грубо говоря, как движущийся шарик. В легких веществах, с которыми проводил опыты А.Комптон, энергия связи электронов мала по сравнению с энергией, передаваемой ему квантами рентгеновского излучения, и электроны можно считать свободными. При комптоновском рассеянии происходит упругое столкновение фотона со свободным электроном. По образному выражению М.Борна эффект Комптона — это игра в биллиард фотонами и электронами.
Для видимого света (hν всего 2 — 3 эВ) в веществе нет электронов, которые можно было бы считать свободными, и эффект не наблюдается. (Хотя, пока природа явления не была понята, поиски предпринимались.)
Расчет эффекта Комптона
Пусть фотон с энергией hν падает на покоящийся электрон (см. рис.3).
Запишем уравнения, выражающие законы сохранения энергии и импульса:
1. энергия до столкновения (энергия фотона hν плюс энергия покоя электрона) должна равняться энергии после столкновения (энергия hν’ рассеянного фотона плюс полная энергия получившего отдачу электрона)
hν + moc2 = hν’ + mc2, (1)
где mo — масса покоящегося электрона, m — масса движущегося электрона, с — скорость света;
2. импульс падающего фотона p должен равняться сумме импульсов электрона pe и рассеянного фотона p’
p = p’ + pe (2)
Энергия фотона связана с импульсом соотношением
|p| = hν/c. (3)
Преобразуем выражение (1): перенесем энергию рассеянного кванта в левую часть, выразим энергии квантов через импульсы в соответствии с (3), разделим обе части равенства на c и возведем в квадрат
(p — p’ + moc)2 = (mc)2. (4)
В законе сохранения импульса (2) перенесем импульс рассеянного кванта в левую часть и возведем в квадрат обе части равенства
p2 — 2pp’ + p’2 = pe2. (5)
После вычитания последнего равенства из (4) получим
-2pp’ + 2pp’cosΘ + 2pmoc — 2p’moc + mo2c2 = m2c2 — pe2 (6)
Квадрат полной энергии электрона
Ee2 = (mc2)2 = pe2c2 + mo2c4.
Учитывая это, замечаем, что правая часть (6) равна mo2c2. Точно такое же слагаемое есть и в левой части (6). После сокращений получим выражение для модуля импульса рассеянного фотона
p’ = p/[1 + (p/mc)(1 — cosΘ)]. (7)
Поскольку импульс фотона p = h/λ, получаем окончательное выражение для изменения длины волны рассеянного фотона
λ’ — λ = (h/mоc)(1 — cos Θ). (8)
Величина h/moc называется комптоновской длиной волны электрона, ее численное значение равно h/moc = 2.4263096(15) ·10-12 м. Это длина волны фотона с энергией, равной moc2 — энергии покоя электрона.
Убедитесь, что если бы эффект Комптона можно было наблюдать в видимой части спектра, смещение длины волны составило бы тысячные доли длины первичной волны. В рентгеновской области (hν порядка кэВ) изменение порядка 10%, для γ — лучей (hν порядка МэВ) оно сравнимо с длиной волны. А.Комптон проводил измерения с К-линией характеристического рентгеновского излучения молибдена, имеющей λ = 0.0708 нм (hν = 17.5 кэВ). Изменение длины волны в этом случае порядка трех процентов.
В своей статье «A Quantum Theory of the Scattering of X-Rays by Light Elements», опубликованной в 1923 году, А.Комптон провел расчеты и сравнил результаты с ранее полученными в эксперименте. Выше приведен график из этой работы. На поле графика — результаты для рассеяния рентгеновских лучей в мишени из графита. Впечатляющее согласие пионерских измерений А.Комптона и многих последующих с теоретическими расчетами явилось сильным доводом в поддержку выдвинутого в 1905 г. Эйнштейном предположения о том, что свет обладает свойствами не только волны, но и частицы. Корпускулярные свойства электромагнитного излучения проявлялись при взаимодействии первичных рентгеновских лучей с электронами, тогда как волновые свойства обнаруживались при детектировании рассеянных лучей – действие дифракционного спектрометра, использованного А.Комптоном, можно объяснить, только рассматривая рентгеновские лучи как волны.
Квантование энергии электромагнитной волны доказано ранее в опытах по фотоэффекту. Но при фотоэффекте импульс фотона передается всему образцу металла и испущенному из него электрону. Импульс, приобретенный металлом в таких условиях, слишком мал и не поддается измерению. Эффект А.Комптона демонстрирует, что фотон обладает импульсом.
А.Комптон не был бы настоящим ученым, если бы не задался вопросом, какие еще экспериментальные подтверждения можно найти приведенному выше объяснению смещения длины волны рассеянного излучения. Если обе части равенства (7) умножить на c, получим энергию рассеянного фотона
hν’ = hν/[1 + (hν/mоc2)(1 — cosΘ)]. (9)
Разность энергий первичного и рассеянного фотонов равна кинетической энергии электрона, который А.Комптон назвал «электроном отдачи», Te = hν — hν’. На снимках в камере Вильсона по длине следов электронов измерялась их энергия. Экспериментальные значения оказались в хорошем согласии с расчетными.
В 1927г. А.Комптону присуждена нобелевская премия:
1927ARTHUR HOLLY COMPTON for his discovery of the effect named after him.
При вручении премии, как водится, А.Комптон прочел лекцию об исследовании рентгеновского излучения «X-rays as a branch of optics» («Рентгеновское излучение как раздел оптики»). С ней можно познакомиться.
Продемонстрируем эффект Комптона на модели экспериментальной установки. В нашем распоряжении источник — рентгеновская трубка (1), две диафрагмы (2), выделяющие узкий пучок излучения, мишени (3) из трех материалов и подвижный детектор (4). Спектр излучения рентгеновской трубки сплошной, на фоне которого выделяются линии характеристического излучения. У нашего идеализированного источника энергия квантов hν = 100 кэВ, а сплошная часть спектра отфильтрована. Детектор современный (полупроводниковый или сцинтилляционный), амплитуда электрических импульсов на выходе которого пропорциональна энергии поглощенных квантов. С выхода детектора импульсы поступают на многоканальный амплитудный анализатор (мы увидим только экран анализатора). Его задача — сортировка поступающих импульсов по амплитуде и подсчет количества импульсов с каждой амплитудой (конечно, в некотором диапазоне около среднего). В силу конечного разрешения детектора моноэнергетическим квантам будет соответствовать некоторое распределение импульсов по амплитудам (для идеального детектора получили бы монолинию). Положение максимума на оси амплитуд определяет энергию излучения.
Сейчас приступим к эксперименту. После нажатие кнопки «Начнем» в новом окне будет представлена действующая модель экспериментальной установки. Сначала установлен режим демонстрации. Справа внизу Вы увидите описание предстоящих действий компьютера после нажатия Вами кнопки «Старт» (потом эта кнопка — «Далее»). Когда компьютер «занят» (т.е. идет опыт) эта кнопка не активна. Переходите к следующему кадру, лишь осмыслив результат, полученный в текущем опыте. После окончания демонстрации установкой можно управлять самостоятельно. (Если Ваше восприятие не совпадает с моими комментариями, напишите мне!)
Начнем!
Интересно, что обнаружен и так называемый «обратный эффект Комптона», когда низкоэнергичные фотоны увеличивают свою энергию, рассеиваясь на горячих электронах. Им объясняют некоторые изменения в спектре реликтового излучения. С 1963 года метод обратного комптоновского рассеяния используется для получения монохроматических γ-пучков высоких энергий (до нескольких ГэВ) путем рассеяния лазерных фотонов на электронах (позитронах), циркулирующих в накопителях. Пучок таких фотонов полезен в исследовании ядер. Известен и процесс упругого рассеяния γ-квантов на протоне.
ЭФФЕКТ КОМПТОНА состоит в изменении длины волны, сопровождающем рассеяние пучка рентгеновских лучей в тонком слое вещества. Явление было известно еще за несколько лет до работы Артура Комптона, который опубликовал в 1923году результаты тщательно выполненных экспериментов, подтвердивших существование этого эффекта, и одновременно предложил его объяснение. (Вскоре независимое объяснение было дано П.Дебаем, почему явление иногда называют эффектом Комптона – Дебая.)
В то время существовали два совершенно разных способа описания взаимодействия света с веществом, каждый из которых подтверждался значительным числом экспери
