Основы теории фильтрации

Постановим задачи синтеза.

Фильтр – схема, которая обеспечивает пропускание сигнала в некотором частотной области с малым затуханием и этой области обеспечивающей большое. Затухание мало - полоса пропускания, полоса в которой затухание велико – называется полосой задержания, между областями пропускания и задержки имеется переходная область.

Добротность и частота настройки.

ПФ:

Математические методы описания шумов.

Рассмотрим следующий пример x(t)

dP – вероятность обозначающая, что в некоторый момент времени случайная переменная X примет значение в интервале dX/

X(t0) [X0;X0+dx]

Было проведено Nэксперементов и в результате получен анцамбль из N реализаций процесса x(t)

(3 графика x1(t); x2(t); x3(t))

ΔN соответствует числу попаданий функции в выделенный интервал (число положительных экспериментов)

– функция распределения

Причем функция распределения F соответствует вероятности того, что значение X не превзойдет значение X0.

Предпологая что dx

(Плотность функции распределения P(x0))

В общем случае , как одномерная (стр 29) вероятности не достаточна для описания процесса, т.к. описывает поведение функции в один момент времени.

Полную информацию дает многомерная плотность т.е. величина вида.

Анализировать такую функцию далее численно сложно поэтому вводят 2 основных упрощения.

1 Стационарность случайного процесса

2 Эргодичность случайного процесса

Случайным процесс называется стационарным «в узком случае» если многомерная функция плотности не меняется во времени

Случайный процесс является стационарным «в широком случае» если дописанному свойству удовлетворяет плотность функции первого и второго порядков

Определим основные параметры случайных процессов:

1) если процесс стационарный, то математическое ожидание не зависит от времени.

2) Функция среднего квадрата если процесс стационарный, то математическое ожидание не зависит от времени. (t)=

Если предполагать под x шум ток/напряжение выделяется на 1 Оме, то – соответствует полной средней мощности.

3) Дисперсия случайного процесса

где

Тогда

-2 )^2+ =

1ое слагаемое с точностью до сопротивления пропорциональной полной мощности,

2ое слагаемое с точностью до сопротивления пропорциональной полной мощности постоянной составляющей => разность этих состовляющих соответствует мощности переменной состовляющей.

В тех случаяхкогда рассматривается процесс протекающий во времени (стр 30) Введём понятие эргодичности.

Процесс будет называться эргодичным, если усреднение по ансамблю реализаций эквивалентно усреднению одной реализации по времени на бесконечно длительном интервале наблюдения

Если рассматривать стационарный эргодичный процесс, то для основных параметров получим следующие

T- время усреднения(наблюдения)

На практике измерения проводят с помощью (стр 31) детектора, а в теории осуществляют усреднение по анцамблю реализаций, для этого надо знать p(x). Если считать что X соответствует шумовому току или напряжению, то p(x) – соответствует Гаусовому расширению

Данное свойство определяется так называемой предельной теоремой т.к. шомовой процесс представляет совокупность большого числа независимых случайных переменных.

Согласно ‘y*()*Th

Если имеет место быть совокупность большого числа независимых случайных процессов с одинаковыми отклонениями и дисперсией, то суммарный процесс Y и будет расширяться по закону Гауса, а его параметры будут определяться следующим образом:

i=1,2,3,…n

Спектр плотности средней мощности (стр 32) процесса.

При анализе детерминированных процессов широко используется (стр32) в частотной области.

При этом если имеется некоторое f(t) удовлетворяющая условиям Дерихле и является абсолютно интегрируемой

F(∞)=

Возможно ли спектралное представление не для детерминированного, а для стохастического сигнала x(t).

Как правило условие Дерихле выполняется для стохостического процесса, но возникают нарушения 2го условия абсолютной сходимости, если x?стационарная функция, то подчиненная величина? Не будет от tи интеграл расходится.

Т.е. непосредственно использовать преобразование Фурье, особенно для стационарных сигналов нельзя. Однако несмотря на расходимость самого процесса напомним, что для мощностных характеристик преобразование возможно.

Рассмотрим процесс x(t) и выделим

T- период наблюдения

Введём в рассмотрение усечённую кривую

(два графика)

Поскольку является конечной функцией, то = > условие абсолютной интегрируемости выполняется = > можно исползовать преобразование Фурье

По ThПарсиваля

Если увеличивать время (Т), то и численно начнет расходиться. Однако скорость роста Т в знаменателе также увеличивается и отношение также увеличивается а отношение остается конечным, а это обстоятельство даёт возможность прийти

При таком предельном переходе осуществляется переход от усечённой реализации к полной.

Интегрирование ведётся в частной области, во времени = > операторы можно поменять местами:

Спектральная плотность средней мощности к-ой реакции процесса x(t)

Если считать процесс эргодическим, то рассматриваемое усреднение по времени к-ой реакции эквивалентно усреднению по ансамблю то

Если считать X соответствующим току или напряжению шума

Если используется циклическая частота, то:

S_u(ω) S_i(ω)

Определяем среднеквадратичное напряжение шума или ток шума:

Если ввести интервал рассматривается Δɷ:

Преобразование случайного процесса.

Линейные преобразования случайного процесса.

……… 3-х полюсник, на который воздействует генератор шума и ….

Определить шум на выходе.

Вх – х(t) y(t)

Выделим индивидуальную реализацию для выходного сигнала, введем в рассматриваемый интервал наблюдения

– передаточная функция

и по входу введем учетную реализацию

Эквивалентные шумовые схемы 2-х и 3-х полюсников.

Для линейных 2-х и 3-х полюсников предназначаются изв… шейф… мощности шумового напряжения или тока.

Тогда каждый из двух полюсников описывается одним генератором шума, следовательно эквивалентные шумовые схемы:

Как правило, для двухполюсников является тепловой шум, следовательно используется формула Найквиста:

- абсолютная температура

Рассмотрим линейный 3-х полюсник и построим его линейную эквивалентную шумовую схему:

Каждый из 2-х полосников в составе характеризуется своим генератором шума

Складываем по уменьшению включенные генераторы

Осуществляется пересчет генераторов шума на вход

Обобщая результат для схемы ОУ

Расчет коэффициента шума для преселектора приемного тракта

Учитываются только тепловые шумы, следовательно реактивность можно исключить

S_A=4kTY_A

S_K=4kTYk

S₁=4kTY₁

S₂=4kTR₂

Где Y₁ и R₂ – это эквивалентные шумовые проводимость и сопротивление УРИ, которые генерируют шумы, описывающие шумовые свойства усилителя, в общем случае

Введем в рассмотрение коэффициент шума:

Р_швх соответствует шуму в антенне

2. Осуществляем пересчет генераторного шума напряжения S₂в ток

Прохождение шума через УРЧ:

На входе шумовое ……….. спектром.

С …….. шумовой отклик на входе акселератора:

≈ слабо зависит от частоты.

считая, что среднее значение шумового сигнала около нуля:

Данное приближение имеет меньшую погрешность, чум выше избирательность преселектора (т.е. чем выше прямоугольность АЧХ)

Рассмотрим прохождение ГоГШ через избирательные цепи УРЧ, считая, что для входного воздействия спектр достаточно широк, чтобы считать его достаточно независимым.

Представим входное воздействие в виде суммы узких импульсов, близких к б-функции, подобное можно рассмотреть как набор независимых импульсов, следовательно, согласно центральной T_h, суммарный сигнал будет соответствовать распределению по Гауссу, причем у выходного отклика частота определяется частотой УРЧ, а амплитуда и фаза являются случайными.

Ансамбль реализаций выходного отклика:

Прохождение шума через смеситель:

Из спектра входного сигнала на выход гранта промежуточной частоты попадает та часть, которая соответствует полосе пропускания ΔПЧ.

Учитывая наличие дополнительного тока приема, на выходе так по….спектр соответствует зеркальному каналу и помехи на промежуточной частоте.

Введем в рассмотрение

Совместное действие сигнала и шума н АМ-детекторе

Грант настроен на несущую частоту .

Сигнал прошел вместе с шумом через преселектор и попал на вход детектора.

Т.е. шумовой сигнал представляет собой колебания с ровным распределением фазы и случайным амплитудным распределением по Релею.

Учитывая, что АМ детектор работает по огибающей, определим огибающую процесса:

Рассмотрим записи детектирования оооооосигнала (квадрат.детектор)

формула вводится для удобства рассмотрения мощностных характеристик.

Определим дисперсию выходного колебания

1. Определим среднее значение

Определим

Слагаем пропорц и при усреднении дают ноль

Cчитаем дисперсию выходного колебания

Полученный результат позволяет провести оценку помехоустойчивости приёмного тракта под воздействием шумовой помехи. Для этой оценки необходимо ввести отношение сигнала помеха на выходе и входе и сравнить их между собой.

Будет происходить эффект подавления сигнала шумовой помехой.

2.Линейное детектирование (режим большого сигнала).

P(A, –над

Повторяя проведенный анализ, на кол-ом уровне можно показать:

При «сильном сигнале» отношение сигнал - помеха δ в линейном детекторе в 4 раза больше, чем в квадратном. Это объясняется тем, что при квадратном детектировании сильный сигнал как бы выносит помеху на участок с большой крутизной.

Совместное действие сигнала и шума на ЧД.

Н.у. аналогичны предыдущих случаев.

Определим сигнал на выходе детектора

Определяем дисперсию:

3. Определяем выходную дисперсию.

В отличии от амплитудной модуляции применение широкополостной фазовой(частотной)позволяет повысить помехоустойчивость за счёт увеличения ∆ω.

Совместное действие сигнала и соср помехи на АМ-детекторе.

Рассмотрим воздействие на АМ-детекторе двух гармонических колебаний:

I тракт настроен на , а -частота помехи

На входе 2 колебания возникает процесс биений -частота биений

Т.к. Ам-детектор выд. огибающую определенной амплитуду ∑ сигнала на входе

линейный режим работы

2 случая

1)Детектор работает в бециперц режиме по частоте биений

в режиме выпр

Рассмотр отношение сигнал помеха. Т.к.рассмотрвыд-ие сигнала, то отношение сигнал помеха строится для амплитуды, а не Р.

2)детектор работает в режиме по частоте биений

, детектор работает, как бы в пиковом режиме

детектора на помехе сигнала не сказывается → помехоустойчивость не изменяется

Воздействие двух моделированных АМ сигналов.

-постоянная составляющая

-результат детектирования полезного сигнала

-результат детектирования помехи

по сравнению с немодулированным сигналом, помехоучтойчив. уменьшается в два раза.

Детектор работает в пиковом режиме:

Аналогично случаю воздействия гармоник детектора по помехе не сказывается.

Совместное действие сигнала и сосредоточенной помехи на ЧМ детектор.

Простейший случай воздействия на ЧМ детектор двух гармонических сигналов.

Рассмотрим фазовый сдвиг

Рассмотрим выходное колебание

Сделаем следующие выводы:

Сравнили помехоустойчивость АМ детектора и ЧМ детектора, отношение , т.е. повышение помехоустойчивости АМ возможно за счёт повышения мощности передатчика, но не за счёт изменения параметров модуляции для ЧМ.

ЧМ , отсюда следует, что за счёт увеличения девиации ЧМ сигнала, удаётся увеличить и следовательно повысить помехоустойчивость при заданной мощности передатчика, т.е. необходимо использовать широкополосную частотную модуляцию.