Последовательности и закономерности

Функции

1. Известно, что график функции является касательной к графику функции . Найдите .

2. Известно, что для всех действительных . Найти

3. Найдите какую-нибудь окружность, касающуюся обеих ветвей гиперболы . В ответ запишите уравнение найденной окружности.

4. Изобразить геометрическое место точек плоскости, удовлетворяющих неравенству

.

5. Найти площадь фигуры, заданной системой неравенств:

Делимость

6. Сумма трех последовательных целых чисел равна их произведению. Найдите все такие числа.

7. Известно, что натуральное число , не превосходящее 1000, имеет остаток 5 при делении на 7, и остаток 8 при делении на 9. Сколько таких чисел ?

8. Решите уравнение в целых числах: .

9. Десятичная запись натурального числа N оканчивается на 22. Докажите, что наибольший натуральный делитель числа N, не равный N, не кратен наименьшему натуральному делителю числа N, не равному 1.

10. Найдите остаток от деления числа на 23.

 

pandamathclub.ru/

официальный сайт

Vk.com/public129840518

сообщество «Математический клуб «Панда» в соцсети «Вконтакте»

РЕШЕНИЯ

Последовательности и закономерности

1. Известно, что график функции является касательной к графику функции . Найдите .

2. Известно, что для всех действительных . Найти

3. Найдите какую-нибудь окружность, касающуюся обеих ветвей гиперболы . В ответ запишите уравнение найденной окружности.

4. Изобразить ГМТ, удовлетворяющих неравенству .

5. Найти площадь фигуры, заданной системой неравенств:
Решение. Первое неравенство задает внутреннюю часть квадрата со стороной и центром в начале координат, а второе неравенство – горизонтальную полоску шириной 4. Площадь фигуры будет равна разности площади квадрата и площадей двух треугольников, которые отсекают от него полоска 50-18-32.
Ответ: 32.

 

Делимость

6. Сумма трех последовательных целых чисел равна их произведению. Найдите все такие числа.

7.

8. Решите уравнение в целых числах: .

9. Десятичная запись натурального числа N оканчивается на 22. Докажите, что наибольший натуральный делитель числа N, не равный N, не кратен наименьшему натуральному делителю числа N, не равному 1.

Решение. Число N делится на 2, но не делится на 4. Поэтому наибольший натуральный делитель числа N, не равный N, является нечетным, а наименьшему натуральному делителю числа N, не равный 1, равен 2.

10. Найдите остаток от деления числа на 23.