Обработка и анализ результатов ЦКРП отличается от ранее рассмотренных только в подсчете коэффициентов полинома и их дисперсий. Дисперсию воспроизводимости оценивают по экспериментам в центре плана, число которых значительно больше, чем в ЦКОП.
Формулы для расчета коэффициентов полинома и их дисперсий при рототабельном планировании сложнее, чем при ортогональном:
(8.21)
(8.22)
(8.23)
(8.24)
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
где
Так же, как и при получении линейной модели, обработка результатов при реализации ЦКП предполагает статистические проверки гипотез воспроизводимости результатов экспериментов, значимости коэффициентов и адекватности моделей.
Матрица ЦКРП позволяет минимизировать ошибки в определении Y, связанные с неадекватностью представления результатов исследования полиномом 2-го порядка.
Полученная модель 2-го порядка может быть использована для нахождения оптимальных технологических режимов. При этом ее тщательно анализируют и методами аналитической геометрии приводят к канонической форме.
|
|
8.3 Решение типового примера
Пример Интервалы варьирования переменных и уровни технологических факторов представлены в таблице 8.6
Таблица 8.6 –Значения переменных при исследовании свойств резистивных пленок рения
Характеристика фактора | Входной фактор | ||
А, 0С | В, 0С | С, 0С | |
Кодовое обозначение | X1 | X2 | X3 |
Основной уровень xi=0 | 2630 | 530 | 610 |
Шаг варьирования ΔXi | 40 | 20 | 40 |
Верхний уровень xi=+1 | 2670 | 550 | 650 |
Нижний уровень xi=-1 | 2590 | 510 | 570 |
Решение После реализации ПФЭ 23 оказалось, что полученная линейная модель неадекватно описывает результаты экспериментов. Поэтому необходимо дополнить ПФЭ до ЦКРП (таблица 8.7) для получения модели второго порядка.
Поскольку при проверке эксперименты оказались воспроизводимыми, результаты опытов использовались для определения коэффициентов регрессии по формулам (8.21) – (8.24):
b0=+1,07; b13=+0,0375;
b1=+0,069; b23=+0,0375;
b2=-0,076; b11=+0,060;
b3=+0,125; b22=+0,080;
b12=-0,0375; b33=+0,060.
После вычисления дисперсий S2{b0}, S2{bi}, S2{bii}, S2{bij} по формулам (8.25) – (8.28) установлено, что коэффициенты b12, b13, b23 незначимы. Тогда получаем математическую модель вида
Y=1,07+0,069X1–0,076X2+0,125X3+0,060X12+0,080X22+0,060X32. (8.29)
Таблица 8.7 – Матрица планирования и результаты экспериментов при исследовании резистивных пленок рения
Номер опыта | X0б | X1б | X2б | X3б | X1бX2б | X1бX3б | X2бX3б | X1бX2бX3б | X21б | X22б | X23б | Y1 | Y2 | Y |
+ | – | – | – | + | + | + | – | + | + | + | 1,3 | 1,1 | 1,2 | |
+ | + | – | – | – | – | + | + | + | + | + | 1,5 | 1,5 | 1,5 | |
+ | – | + | – | – | + | – | + | + | + | + | 1,2 | 1,4 | 1,3 | |
+ | + | + | – | + | – | – | – | + | + | + | 0,9 | 0,9 | 0,9 | |
+ | – | – | + | + | – | – | + | + | + | + | 1,6 | 1,4 | 1,5 | |
+ | + | – | + | – | + | – | – | + | + | + | 1,5 | 1,3 | 1,4 | |
+ | – | + | + | – | – | + | – | + | + | + | 1,2 | 1,2 | 1,2 | |
+ | + | + | + | + | + | + | + | + | + | + | 1,6 | 1,4 | 1,5 | |
+ | -1,682 | 2,829 | 1,0 | 1,0 | 1,0 | |||||||||
+ | +1,682 | 2,829 | 1,3 | 1,7 | 1,5 | |||||||||
+ | -1,682 | 2,829 | 1,2 | 1,6 | 1,4 | |||||||||
+ | +1,682 | 2,829 | 1,4 | 1,0 | 1,2 | |||||||||
+ | -1,682 | 2,829 | 1,2 | 0,8 | 1,0 | |||||||||
+ | +1,682 | 2,829 | 1,7 | 1,3 | 1,5 | |||||||||
+ | 0,7 | 1,1 | 0,9 | |||||||||||
+ | 0,7 | 0,9 | 0,8 | |||||||||||
+ | 1,6 | 1,2 | 1,4 | |||||||||||
+ | 1,5 | 1,1 | 1,3 | |||||||||||
+ | 1,0 | 1,4 | 1,2 | |||||||||||
+ | 1,1 | 1,1 | 1,1 |
При проверке адекватности полученного уравнения оказалось S2ад=0,427; S2{Y}=0,0402, то есть S2ад>S2{Y}.
|
|
Критерий Фишера для данного случая
F= S2ад/S2{Y}=0,427/0,0402≈1,06.
Подсчитав
νад=N–(m0–1)–[((k+1)(k+2))/2]; ν =m0–1,
по таблице А2 приложения А для Р=0,05 Fкр=3,45.
Так как F>Fкр, следовательно, уравнение (8.29) адекватно описывает поверхность отклика в исследуемой области и может быть использовано для определения оптимальных технологических режимов. Анализ уравнения (8.29) показывает, что исследуемая поверхность отклика относится к поверхностям, имеющим экстремум.
Приравняв нулю ∂Y/∂Xi и решив систему уравнений
0,069 +2·0,060X1б=0;
-0,076+2·0,080X2б=0;
0,125+2·0,060X3б=0,
найдем координаты экстремума X1б=-0,575, X2б=0,475, X3б=-1,04. Затем определим наиболее благоприятные режимы осаждения резистивных пленок рения. Для этого безразмерные переменные с помощью (8.13) переведем в натуральные переменные:
X1=26070С; X2=5400С; X3=5680С.
Задачи для решения
1. Провести обработку и анализ результатов ЦКОП (табл. 8.8)для двух факторов (N =9) по рассмотренной методике.
В каждом варианте приведены результаты проведения пяти параллельных опытов (Y1x Y2x Y3x Y4x Y5x).
Таблица8.8
Номер опыта | X0б | X1б | X2б | X1бX2б | X21б | X22б | Y1x | Y2x | Y3x | Y4x | Y5x |
+1 | –1 | –1 | +1 | +1 | +1 | ||||||
+1 | +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | ||||||
+1 | –1 | +1 | –1 | +1 | +1 | ||||||
+1 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | ||||||
+1 | –1,00 | 1,00 | |||||||||
+1 | +1,00 | 1,00 | |||||||||
+1 | –1,00 | 1,00 | |||||||||
+1 | +1,00 | 1,00 | |||||||||
+1 |
Вариант 1
| Вариант 2
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 3
|
Вариант 4
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 5
|
Вариант 6
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 7
|
Вариант 8
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 9
|
Вариант 10
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 11
|
Вариант 12
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Вариант 13
|
Вариант 14
|
2. Провести обработку и анализ результатов ЦКРП (табл. 8.5)для трех факторов (N =20) по рассмотренной методике.
В каждом варианте приведены результаты проведения пяти параллельных опытов (Y1x Y2x Y3x Y4x).
Вариант 1 -2.794 -2.836 -2.837 -2.751 -2.769 5.059 5.118 5.135 4.983 5.025 0.943 0.911 0.929 0.941 0.895 3.387 3.225 3.428 3.35 3.288 8.127 8.153 8.238 8.212 8.1 10.69 10.6 10.59 10.77 10.64 5.547 5.503 5.599 5.53 5.484 2.874 2.9 2.889 2.89 2.907 0.148 0.130 0.176 0.162 0.136 13.01 13.01 12.99 12.99 13.01 3.835 3.815 3.828 3.794 3.838 0.985 0.964 0.972 1.04 0.968 9.451 9.483 9.368 9.353 9.319 2.659 2.647 2.673 2.674 2.679 2.677 2.697 2.695 2.637 2.693 2.698 2.707 2.652 2.647 2.649 2.749 2.768 2.761 2.758 2.78 2.815 2.762 2.765 2.784 2.823 2.818 2.755 2.767 2.755 2.767 2.898 2.933 2.925 2.887 2.883 | Вариант 2 -1.694 -1.736 -1.737 -1.651 -1.669 12.16 12.22 12.24 12.08 12.13 4.043 4.011 4.029 4.041 3.995 8.487 8.325 8.528 8.45 8.388 13.23 13.25 13.34 13.31 13.2 17.79 17.7 17.69 17.87 17.74 8.647 8.603 8.699 8.63 8.584 3.974 4 3.989 3.99 4.007 -0.433 -0.451 -0.405 -0.419 -0.445 23.13 23.13 23.11 23.11 23.13 6.082 6.062 6.075 6.041 6.085 7.743 7.722 7.73 7.801 7.726 16.21 16.24 16.12 16.11 16.08 3.759 3.747 3.773 3.774 3.779 3.777 3.797 3.795 3.737 3.793 3.798 3.807 3.752 3.747 3.749 3.849 3.868 3.861 3.858 3.88 3.915 3.862 3.865 3.884 3.923 3.918 3.855 3.867 3.855 3.867 3.998 4.033 4.025 3.987 3.983 |
Вариант 3 -8.114 -8.156 -8.157 -8.071 -8.089 7.739 7.798 7.815 7.663 7.705 -2.377 -2.409 -2.391 -2.379 -2.425 4.067 3.905 4.108 4.03 3.968 8.807 8.833 8.918 8.892 8.78 15.37 15.28 15.27 15.45 15.32 4.227 4.183 4.279 4.21 4.164 1.554 1.58 1.569 1.57 1.587 -4.535 -4.553 -4.507 -4.521 -4.547 19.56 19.56 19.54 19.55 19.56 0.833 0.813 0.826 0.792 0.836 0.812 0.791 0.799 0.870 0.795 12.64 12.67 12.56 12.54 12.51 1.339 1.327 1.353 1.354 1.359 1.357 1.377 1.375 1.317 1.373 1.378 1.387 1.332 1.327 1.329 1.429 1.448 1.441 1.438 1.46 1.495 1.442 1.445 1.464 1.503 1.498 1.435 1.447 1.435 1.447 1.578 1.613 1.605 1.567 1.563 | Вариант 4 -0.248 -0.29 -0.291 -0.205 -0.223 7.205 7.264 7.281 7.129 7.171 7.981 7.949 7.967 7.979 7.933 14.03 13.86 14.07 13.99 13.93 6.849 6.875 6.96 6.934 6.822 5.007 4.917 4.91 5.093 4.958 4.761 4.717 4.813 4.744 4.698 1.688 1.714 1.703 1.704 1.721 0.164 0.146 0.192 0.178 0.152 8.574 8.575 8.555 8.56 8.573 10.12 10.1 10.11 10.08 10.12 10.07 10.05 10.06 10.13 10.06 5.38 5.412 5.297 5.282 5.248 2.339 2.327 2.353 2.354 2.359 2.357 2.377 2.375 2.317 2.373 2.378 2.387 2.332 2.327 2.329 2.429 2.448 2.441 2.438 2.46 2.495 2.442 2.445 2.464 2.503 2.498 2.435 2.447 2.435 2.447 2.578 2.613 2.605 2.567 2.563 |
Вариант 5 4.262 4.22 4.219 4.305 4.287 3.535 3.594 3.611 3.459 3.501 12.49 12.46 12.48 12.49 12.44 10.36 10.19 10.4 10.32 10.26 11.36 11.39 11.47 11.44 11.33 1.337 1.247 1.24 1.423 1.288 9.271 9.227 9.323 9.254 9.208 -1.982 -1.956 -1.967 -1.966 -1.949 7.463 7.445 7.491 7.477 7.451 2.116 2.117 2.097 2.102 2.115 10.54 10.52 10.53 10.5 10.54 10.49 10.47 10.48 10.55 10.48 5.8 5.832 5.717 5.702 5.668 2.759 2.747 2.773 2.774 2.779 2.777 2.797 2.795 2.737 2.793 2.798 2.807 2.752 2.747 2.749 2.849 2.868 2.861 2.858 2.88 2.915 2.862 2.865 2.884 2.923 2.918 2.855 2.867 2.855 2.867 2.998 3.033 3.025 2.987 2.983 | Вариант 6 -3.901 -3.943 -3.944 -3.858 -3.876 -4.628 -4.569 -4.552 -4.704 -4.662 4.328 4.296 4.314 4.326 4.28 2.192 2.03 2.233 2.155 2.093 3.196 3.222 3.307 3.281 3.169 -6.826 -6.916 -6.923 -6.74 -6.875 1.108 1.064 1.16 1.091 1.045 -10.14 -10.12 -10.13 -10.13 -10.11 7.504 7.486 7.532 7.518 7.492 -9.858 -9.857 -9.877 -9.872 -9.859 -1.433 -1.453 -1.44 -1.474 -1.43 -0.654 -0.675. -0.667 -0.596 -0.671 -5.348 -5.316 -5.431 -5.446 -5.48 2.8 2.788 2.814 2.815 2.82 2.818 2.838 2.836 2.778 2.834 2.839 2.848 2.793 2.788 2.79 2.89 2.909 2.902 2.899 2.921 2.956 2.903 2.906 2.925 2.964 2.959 2.896 2.908 2.896 2.908 3.039 3.074 3.066 3.028 3.024 |
Вариант 7 -3.558 -3.6 -3.601 -3.515 -3.533 -4.285 -4.226 -4.209 -4.361 -4.319 4.671 4.639 4.657 4.669 4.623 2.535 2.373 2.576 2.498 2.436 3.539 3.565 3.65 3.624 3.512 -6.483 -6.573 -6.58 -6.397 -6.532 1.451 1.407 1.503 1.434 1.388 -9.802 -9.776 -9.787 -9.786 -9.769 7.847 7.829 7.875 7.861 7.835 -9.515 -9.514 -9.534 -9.529 -9.516 -1.09 -1.11 -1.097 -1.131 -1.087 -0.311 -0.332 -0.324 -0.253 -0.328 -5.005 -4.973 -5.088 -5.103 -5.137 3.143 3.131 3.157 3.158 3.163 3.161 3.181 3.179 3.121 3.177 3.182 3.191 3.136 3.131 3.133 3.233 3.252 3.245 3.242 3.264 3.299 3.246 3.249 3.268 3.307 3.302 3.239 3.251 3.239 3.251 3.382 3.417 3.409 3.371 3.367 | Вариант 8 -0.558 -0.6 -0.601 -0.515 -0.533 -1.285 -1.226 -1.209 -1.361 -1.319 7.671 7.639 7.657 7.669 7.623 5.535 5.373 5.576 5.498 5.436 6.539 6.565 6.65 6.624 6.512 -3.483 -3.573 -3.58 -3.397 -3.532 4.451 4.407 4.503 4.434 4.388 -6.802 -6.776 -6.787 -6.786 -6.769 10.85 10.83 10.88 10.86 10.84 -6.515 -6.514 -6.534 -6.529 -6.516 1.91 1.89 1.903 1.869 1.913 2.688 2.667 2.675 2.746 2.671 -2.005 -1.973 -2.088 -2.103 -2.137 6.143 6.131 6.157 6.158 6.163 6.161 6.181 6.179 6.121 6.177 6.182 6.191 6.136 6.131 6.133 6.233 6.252 6.245 6.242 6.264 6.299 6.246 6.249 6.268 6.307 6.302 6.239 6.251 6.239 6.251 6.382 6.417 6.409 6.371 6.367 |
Вариант 9 -3.558 -3.6 -3.601 -3.515 -3.533 -4.285 -4.226 -4.209 -4.361 -4.319 4.671 4.639 4.657 4.669 4.623 2.535 2.373 2.576 2.498 2.436 3.539 3.565 3.65 3.624 3.512 -6.483 -6.573 -6.58 -6.397 -6.532 1.451 1.407 1.503 1.434 1.388 -9.802 -9.776 -9.787 -9.786 -9.769 7.847 7.829 7.875 7.861 7.835 -9.515 -9.514 -9.534 -9.529 -9.516 -1.09 -1.11 -1.097 -1.131 -1.087 -0.319 -0.339 -0.329 -0.259 -0.328 -5.005 -4.973 -5.088 -5.103 -5.137 3.143 3.131 3.157 3.158 3.163 3.161 3.181 3.179 3.121 3.177 3.182 3.191 3.136 3.131 3.133 3.233 3.252 3.245 3.242 3.264 3.299 3.246 3.249 3.268 3.307 3.302 3.239 3.251 3.239 3.251 3.382 3.417 3.409 3.371 3.367 | Вариант 10 0.312 0.27 0.269 0.355 0.337 -0.415 -0.356 -0.339 -0.491 -0.449 8.541 8.509 8.527 8.539 8.493 6.405 6.243 6.446 6.368 6.306 7.409 7.435 7.52 7.494 7.382 -2.613 -2.703 -2.71 -2.527 -2.662 5.321 5.277 5.373 5.304 5.258 -5.932 -5.906 -5.917 -5.916 -5.899 11.72 11.7 11.75 11.73 11.71 -5.645 -5.644 -5.664 -5.659 -5.646 2.78 2.76 2.773 2.739 2.783 3.558 3.537 3.545 3.616 3.541 -1.135 -1.103 -1.218 -1.233 -1.267 7.013 7.001 7.027 7.028 7.033 7.031 7.051 7.049 6.991 7.047 7.052 7.061 7.006 7.001 7.003 7.103 7.122 7.115 7.112 7.134 7.169 7.116 7.119 7.138 7.177 7.172 7.109 7.121 7.109 7.121 7.252 7.287 7.279 7.241 7.237 |
Контрольные вопросы
1. Когда и для чего используется ЦКП и в чем его отличие от планирования ПФЭ и ДФЭ?
2. Что является критерием оптимальности плана при ЦКОП и ЦКРП?
3. Как достигается ортогональность матрицы планирования при ЦКОП?
4. Почему при рототабельном планировании можно не проводить параллельных опытов?
5. В чем преимущество рототабельного планирования перед ортогональным и как оно достигается?
6. Каков порядок обработки результатов ЦКОП?
7. Каков порядок обработки результатов ЦКРП?