Основные понятия и формулы. Продолжение таблицы

Продолжение таблицы

Окончание таблицы

26.8. Задачи

1. Рассчитать мощность тепловых потерь раздетого человека при температуре окружающей среды = 27°С. Температура поверхности кожи t_k = 34°С. Площадь поверхности тела среднего человека равна 1,8 м².

2. Определить, во сколько раз отличаются энергетические светимости участков поверхности тела человека, имеющих температуры 34 и 33°С соответственно?

3. При диагностике методом термографии опухоли молочной железы пациентке дают выпить раствор глюкозы. Через некоторое время регистрируют тепловое излучение поверхности тела. Клетки опухолевой ткани интенсивно поглощают глюкозу, в результате чего их теплопродукция возрастает. На сколько градусов при этом меняется температура участка кожи над опухолью, если излучение с поверхности возрастает на 1% (в 1,01 раза)? Начальная температура участка тела равна 37°С.

6. Насколько увеличилась температура тела человека, если поток излучения с поверхности тела возрос на 4%? Начальная температура тела равна 35°С.

7. В комнате стоят два одинаковых чайника, содержащие равные массы воды при 90°С. Один из них никелированный, а другой темный. Какой из чайников быстрее остынет? Почему?

Решение

По закону Кирхгофа отношение испускательной и поглощательной способностей одинаково у всех тел. Никелированный чайник отражает почти весь свет. Следовательно, его поглощательная способность мала. Соответственно мала и испускательная способность.

Ответ: быстрее остынет темный чайник.

8. Для уничтожения жучков-вредителей зерно подвергают действию инфракрасного облучения. Почему жучки погибают, а зерно нет?

Ответ: жучки имеют черный цвет, поэтому интенсивно поглощают инфракрасное излучение и гибнут.

9. Нагревая кусок стали, мы при температуре 800°С будем наблюдать яркое вишнево-красное каление, но прозрачный стерженек плавленого кварца при той же температуре совсем не светится. Почему?

Решение

См. задачу 7. Прозрачное тело поглощает малую часть света. Поэтому и его испускательная способность мала.

Ответ: прозрачное тело практически не излучает, даже будучи сильно нагретым.

10. Почему в холодную погоду многие животные спят, свернувшись в клубок?

Ответ: при этом уменьшается открытая поверхность тела и соответственно уменьшаются потери на излучение.

Тепловое излучение

Испускание и поглощение света происходит в результате колебаний заряженных частиц в атомах и молекулах, поэтому полное описание этих явлений можно дать лишь на основе законов взаимодействия между заряженными частицами и излучением.

Электромагнитное излучение, возникающее в результате возбуждения атомов или молекул их собственным тепловым движением, называется тепловым излучением. Тепловое излучение отличается от других видов излучения тем характерным свойством, что оно в замкнутой полости с адиабатическими стенками является равновесным. Все остальные виды излучения неравновесны. Поэтому ряд явлений, связанных с поглощением и испусканием света, нагретыми телами можно рассматривать не касаясь их механизма только с энергетической (термодинамической) точки зрения.

Полный поток энергии, т.е. поток, относящийся ко всем частотам (или длинам волн), испускаемый с единицы поверхности светящегося тела, называется интегральной энергетической светимостью

. (6.1)

Функция распределения энергии в потоке по частотам излучения r( í) представляет собой энергетическую светимость, отнесенную к единичному интервалу частот вблизи данной частоты. Ее называют спектральной испускательнойспособностью тела. Интегральная светимость и спектральная испускательная способность тела, очевидно связаны соотношением

(6.2)

Если на тело падает поток энергии dФ _Э, относящейся к малому интервалу частот dν вблизи некоторой частоты ν, то часть его рассеется и отразится от тела (для прозрачных тел частично пройдет сквозь тело), а часть потока dФ ^/_Э поглотится телом.

Величина, показывающая долю поглощенного потока вблизи данной частоты ν, называется поглощательной способностью тела α( ν )

(6.3)

Так как все тела обладают селективностью (избирательностью) поглощения, то для них а( ν ) является функцией частоты. Если какое-либо тело поглощает в некотором интервале частот поток энергии полностью, то на этих частотах для данного тела а( ν ) =1. Во всех остальных случаях а( ν ) <1.

Опыт показывает, что между испускательной и поглощательной способностями тела существует определенная связь (закон Кирхгофа)

(6.4)

Кирхгофом было установлено, что отношение (6.4) испускательной способности к поглощательной способности не зависит от природы тела, а является для всех тел одной и той жефункцией f (ν, T) от частоты ν и температуры T.

Предположим, что можно осуществить такое тело, которое полностью поглощает при любых температурах свет любого состава. Для этого тела поглощательная способность а( ν ) =1 независимо от температуры и частоты. Такое тело называется абсолютно черным.

 

Для абсолютно черного тела r( ν ) = f (ν, T) Таким образом, все абсолютно черные тела при данной температуре обладают одним и тем же распределением энергии по частотам (длинам волн), а светимость всех абсолютно черных тел одинаково меняется с температурой.

Моделью абсолютно черного тела может служить небольшое отверстие в полости. Если стенки полости нагреть, то из нее излучается энергия на различных частотах. Однако все падающее на отверстие полости излучение поглощается (рис. 41). По определению абсолютно черное тело − это такое тело, которое поглощает все падающее на него излучение. Отверстие в полости удовлетворяет этому условию.

Если излучение, выходящее из полости, разложить в спектр, и измерить интенсивность на различных частотах, то можно построить график зависимости интенсивности излучения от частоты r (ν). На рисунке 42 приведено несколько таких кривых при различных температурах (T1<T2<T3). Эти кривые были известны до 1900 года, но пользуясь законами классической физики, объяснить вид этих зависимостей не удавалось.

Основной задачей теории теплового излучения являлось нахождение вида функции Кирхгофа f (ν, T), т.е. выяснение вида зависимости испускательной способности абсолютно черного тела от его температуры u1080 и длины волны (частоты) излучения. Электромагнитная теория позволяет получить вид этой функции только для области больших длин волн. В классической статистической физике существует закон равномерного распределения энергии по степеням свободы, согласно которому при тепловом равновесии на каждую степень свободы осциллятора приходится одинаковая энергия, равная

 

 

При нагревании стенок полости в ней устанавливаются стоячие электромагнитные волны. На каждую стоячую волну приходится энергия равная . Чтобы найти полную энергию в полости необходимо выяснить сколько стоячих волн может уложиться в полости.

Для того чтобы в полости возникла стоячая волна, необходимо, чтобы от стенки до стенки уложилось целое число полуволн. Чем меньше длина волны, тем больше полуволн может уложиться (рис.43). Если на каждое колебание приходится одна и та же энергия, то интенсивность излучения должна расти с частотой. Опыты же дают (см. рис. 42), что интенсивность излучения с ростом частоты падает. Общее число возможных колебаний оказывается бесконечно большим и они должны были забрать всю энергию стенок, сколько бы к ним не подводили. Все предметы должны были бы охлаждаться, их тепло

постоянно переходило бы в излучение. Этот парадокс вошел в науку под названием " ультрафиолетовой катастрофы ".

Чисто термодинамические рассуждения не позволяют найти вид функции f (ν, T).

Однако из термодинамических рассмотрений установлены три закона, которым подчиняется излучение абсолютно черного тела.

Закон Стефана-Больцмана относится к интегральной светимости: интегральная светимость абсолютно черного тела возрастает пропорционально четвертой степени абсолютной температуры тела

(6.5)

где σ − постоянная Стефана - Больцмана, показывающая изменение энергии излучения абсолютно черного тела с единицы площади его поверхности в единицу времени при изменении температуры тела на один градус.

Закон смещения Вина касается максимума излучательной способности абсолютно черного тела

Закон смещения Вина касается максимума излучательной способности абсолютно черного тела: частота ν_m, на которую приходится максимум излучательной способности f (ν, T), меняется пропорционально абсолютной температуре тела

(6.6)

где c ^/ - постоянная Вина.

Второй закон Вина указывает, что максимальная излучательная способность абсолютно черного тела f (ν_m, T) возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры тела

(6.7)

Попытки объяснить спектральное распределение теплового излучения абсолютно черного тела привели к необходимости введения идеи квантования. Не может быть равновесия излучения с веществом таков вывод классической физики ("ультрафиолетовая катастрофа").

В 1900 году М. Планк разрешил этот парадокс. Он предложил, что частицы, из которых состоят стенки, могут изменять свою энергию дискретно, т.е. порциями с энергиями . Коэффициент пропорциональности между энергией Е и частотой ν носит название постоянной Планка h =6,62·10-34 Дж· с (часто в теории используется постоянная Планка в виде

Частицы, из которых состоят стенки излучают электромагнитные волны различных частот. Излучатели, которые могли бы испускать высокие частоты, находятся в состоянии минимальной энергией. Для возбуждения таких излучателей им следует передать энергию , много большую, чем средняя тепловая энергия kТ, приходящаяся на одну частицу. Но согласно законам статической физики это событие маловероятно, так что возбужденной оказывается лишь малая доля таких излучателей, и интенсивность испущенного ими света мала.

Полученное Планком выражение для испускательной способности абсолютно черного тела полностью согласуется с результатами экспериментальных данных

(6.8)

Возникает вопрос: почему же скачкообразность в изменении энергии излучателей не замечали раньше? Потому, что значение постоянной Планка очень мало и потому порции энергии настолько ничтожны, что изменение энергии кажется непрерывным.

Результаты, полученные Планком, были первым серьезным указанием на то, что к явлениям лучеиспускания законы классической физики уже неприменимы. Не вытекая из какой-либо законченной теории, не являясь, тем более, теорией, сама по себе гипотеза Планка показывала, что должна быть создана новая теория. В этой новой теории должно быть существенно отражено, что некоторые физические величины способны принимать не непрерывный, но дискретный ряд значений. Эти результаты легли в основу квантовой теории

Пирометрия (от греч. pýr — огонь и мтерия), группа методов измерения температуры. Интенсивность теплового излучения сильно зависит от температуры Т тел и очень резко убывает с её уменьшением. Поэтому методы П. применяют для измерения относительно высоких температур (например, серийным радиационным пирометром от 200 °С и выше). При Т £ 1000 °С методы П. играют в целом второстепенную роль, но при Т > 1000 °С они становятся главными, а при Т > 3000 °С — практически единственными методами измерения Т. Методами П. в промышленных и лабораторных условиях определяют температуру в печах и др. нагревательных установках, температуру расплавленных металлов и изделий из них (проката и т.п.), температуру пламени, нагретых газов, плазмы. Методы П. не требуют контакта датчика измерительного прибора с телом, температура которого измеряется, и поэтому могут применяться для измерения очень высоких температур. Основное условие применимости методов П.— излучение тела должно быть чисто тепловым, т. е. оно должно подчиняться закону излучения Кирхгофа. Измерения наиболее просты для твёрдых тел и жидкостей, спектр излучения которых чисто сплошной. В этом случае измерения температуры осуществляют пирометрами, действие которых основано на законах излучения абсолютно черного тела. Обычно поверхности исследуемого тела придают форму полости, чтобы коэффициент поглощения был близок к единице (оптические свойства такого тела близки к свойствам абсолютно чёрного тела).Применение методов П. для исследования неравновесной плазмы даёт ценную информацию о её состоянии, хотя понятие температуры в этом случае неприменимо.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела, т. е. энергия, излучаемая в 1 сек единицей поверхности, определяется формулой Стефана – Больцмана

R_э=σ·T⁴ (6.9)

где T температура и σ- постоянная Стефана – Больцмана

σ = 5.67 · 10^-8Вт/(м²·К⁴)

По закону смещения Вина произведение абсолютной температуры абсолютно черного тела на длину волны, при которой спектральная плотность энергетической светимости этого тела максимальна, равна постоянной величине, т.е.

По закону смещения Вина максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела с повышением температуры смещается в сторону более коротких волн. Смещение максимума происходит у любых излучателей. Отношение спектральной испускательной способности нити лампы (синей и красной частей спектра) должно возрастать с повышением температуры.

Планк на основе квантовых представлений вывел аналитическое выражение для потока энергии, испускаемой с единицы поверхности абсолютно черного тела в интервале длин волн от l до l+Dl:

, (6.10)

где h - постоянная Планка;

с - скорость света;

k - постоянная Больцмана.

Умножив величину на спектральный коэффициент излучения металла, получим значение спектральной испускательной способности металла.

Отношение спектральных испускательных способностей металлов в одинаковых интервалах для разных длин волн (l_КР и l_СИН) при одной и той же температура равно:

. (6.11)

Учтя, что для длин волн, лежащих в видимой области спектра, и температур выше комнатной величина

из уравнения (13.4) получим отношение спектральных способностей металла при различных температурах Т₁ и Т₂:

(6.12)

Отношение спектральных коэффициентов излучения вольфрама для температур, лежащих на интервале 1000°K - 2500°K, близко единице. Учитывая это, определим постоянную Планка из уравнения (6.13):

, (6.13)

где

Таким образом, для определения постоянной Стефана-Больцмана и постоянной Планка нужно знать абсолютную температуру вольфрамовой проволоки.

УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ ПИРОМЕТРА

Работа пирометра основана на измерении квазимонохроматической яркости излучения нагретого объекта путем уравнения ее с яркостью эталона, в качестве которого используется специальная пирометрическая лампа, для которой дана зависимость температуры нити от тока.

Рис.44. Внешний вид пирометра.

Пирометр представляет собой телескоп, состоящий из объектива 1 и окулярного микроскопа 2, оправы которого закреплены на кронштейне. К кронштейну крепится блок ламп 3 с тремя лампами 4.

Объектив пирометра с помощью ручки 5 можно перемещать вдоль оптической оси. Необходимую диоптрическую наводку обеспечивает перемещение окуляра микроскопа.

Наведение на объект производится с помощью ручки 6 в горизонтальной плоскости и винтами 7 в вертикальной плоскости.

Для расширения температурной шкалы пирометр снабжен кассетой 8 со стеклянными поглощающими стеклами и выносным поглотителем 9. Для монохроматизации светового потока пирометр снабжен кассетой 10 со светофильтрами.

Тепловое излучение.

Введение.

 

К концу XIX столетия в физике сложилась картина кажущегося благополучия:

1) классическая (ньютоновская) механика приобрела законченный вид и хорошо описывала

динамику

движения частиц и тел;

2) статистические методы довершали построение теории объектов, состоящих из большого

числа частиц, и

приводили к обоснованию эмпирических законов – термодинамики.

3) победила волновая теория света (интерференция; дифракция; опыт Фуко (1850 г.), показавший, как и

предсказывала волновая теория, что скорость света в воде ; измеренная скорость света совпала

с вычисленной скоростью распространения электромагнитных волн).

Казалось, что оставалось лишь несколько нерешенных непринципиальных проблем, что требуется еще небольшое усилие и физическая картина мира будет вполне ясна.

Что же это за проблемы? К примеру,

1) Фотоэффект (1887 г. – Герц).

2) Линейчатые спектры излучения, полосатые спектры (1885 г. – Бальмер).

3) Стабильность и размер атома.

4) Тепловое излучение.

С обсуждения проблемы теплового излучения мы и начнем работу в этом разделе современной физики.

 

Тепловое излучение.

Тепловое излучение – испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела.

Тепловое (температурное) излучение происходит при любой температуре тела и имеет сплошной спектр, положение максимума которого зависит от температуры вещества.

При невысоких температурах c заметной интенсивностью излучаются лишь длинные электромагнитные волны (инфракрасная область спектра). С повышением температуры возрастает общая энергия испускаемого теплового излучения, а максимум перемещается в область малых длин волн. Это экспериментально установленные факты. Тепловое излучение испускает, например, поверхность накаленного металла, земная атмосфера, кожный покров человека и т.д.

Остальные виды излучения, возбуждаемые за счет любого вида энергии, кроме внутренней, называются люминесценцией. Люминесцентное излучение всегда неравновесно.

Тепловое излучение может быть равновесным.

I. Равновесное излучение.

Рассмотрим тело, окруженное идеально отражающей вакуумированной оболочкой.

Пусть тело находится при температуре Т и, следовательно, излучает. Отраженное

оболочкой излучение, упав на тело, частично или полностью поглотиться. Т.о., за счет

отражения будет происходить непрерывный обмен энергией: излучение

отражение поглощение излучение …

Равновесное излучение – процесс, в котором распределение энергии между телом

и излучением остается неизменным во времени для каждой длины волны.

Другими словами, сколько на данной длине волны излучается, столько и поглощается.

Такое состояние системы «тело + излучение» равновесно, поэтому к ней могут быть применены законы термодинамики.

Свойства равновесного излучения:

1) не зависит от материала излучающего тела и его формы;

2) зависит только от температуры тела, которая определяет его спектральный состав и интенсивность;

3) однородно, изотропно, неполяризовано.

Вообще говоря, можно формально рассматривать равновесное излучение отдельно от тела, с которым оно находится в равновесии, и характеризовать его плотностью энергии излучения.

 

II. Количественные характеристики излучения.

Количественные характеристики теплового излучения аналогичны характеристикам в фотометрии, поскольку, по сути, речь идет об одном и том же предмете.

Итак: энергетическая светимость, испускательная способность, плотность энергии излучения, поглощательная способность.

Определим два способа характеристики равновесного теплового излучения:

 

I

Через равновесие с телом,

как количество энергии, испускаемое с единицы поверхности тела в единицу времени

 

 

1. Энергетическая светимость

поток энергии, испускаемый единицей поверхности тела по всем направлениям, т.е. в телесный угол .

Размерность: = = или .

 

II

Без тела,

как количество энергии, содержащееся в единице объема пространства

 

 

1. Плотность энергии излучения .

энергия, содержащаяся в единице объема пространства.

Размерность: = или .

 

 

Приведенные выше характеристики являются интегральными, т.е. просуммированы по всем частотам () или длинам () электромагнитных волн.

 

Спектральные характеристики теплового излучения:

 

2. Испускательная способность тела

 

,

где – поток энергии, испускаемый единицей поверхности в интервале частот от до .

Размерность: [ ]= = или

При этом связь между испускательной способностью и энергетической светимостью:

 

2. Спектральная плотность энергии излучения

,

где – энергия единицы объема, определяемая частотным интервалом от до .

Размерность: .

Связь между интегральной и спектральной плотностями энергии излучения:

.

 

Излучение можно характеризовать вместо частоты длиной волны . Участку спектра при этом будет соответствовать интервал длин волн . Связь между этими величинами вытекает из формулы . Дифференцирование дает . Знак минус в полученном соотношении указывает лишь на то, что с возрастанием одной из величин, или , другая величина убывает. Поэтому в дальнейшем мы будем его опускать.

 

 

3.Теперь испускательная способность (спектральная энергетическая светимость) может быть представлена в виде

.

Размерность:

.

3. Аналогично, спектральная плотность энергии излучения может быть представлена как

.

Размерность: .

.

 

 

Если интервалы и относятся к одному и тому же участку спектра, то величины и должны совпадать:

,

откуда .

 

Связь между спектральными плотностями энергии излучения, естественно, полностью аналогична той, что была установлена при рассмотрении равновесия излучения с телом:

.

 

4. Поглощательная способность тела.

Поглощательной способностью называется безразмерная величина , определяемая как отношение части потока энергии в интервале частот , поглощенного телом, к падающему потоку энергии в том же интервале частот.

По определению .

 

III. Экспериментальные законы. Абсолютно черное тело.

 

В XIX в. проводились многочисленные опыты, в которых изучалось излучение нагретых тел. Исследования позволили, в частности, установить, что между испускательной и поглощательной способностями любого тела существует определенная связь.

Прево в 1809 г. нашел правило: если 2 тела поглощают различные количества энергии, то они и излучают разные количества энергии.

Спустя пятьдесят лет (1859) Кирхгоф на основе опыта сформулировал закон:

Отношение испускательной и поглощательной способностей не зависит от природы тела, оно является для всех тел универсальной (одной и той же) функцией частоты (длины волны ) и температуры.

Это утверждение можно проиллюстрировать следующим образом. Пусть имеется несколько тел внутри замкнутой вакуумированной оболочки, температура которой поддерживается постоянной. Опыт показывает, что такая система придет через некоторое время в состояние теплового равновесия – все тела примут одну и ту же температуру , равную температуре оболочки. В этом состоянии тело, обладающее большей испускательной способностью , теряет в единицу времени с единичной поверхности больше энергии, чем тело с меньшим значением . Поскольку температура (а, следовательно, и внутренняя энергия) тел не меняется, то тело, испускающее больше энергии, должно и поглощать больше, т.е. обладать большей поглощательной способностью .

Отсюда мы приходим к соотношению, выражающему закон Кирхгофа:

= = = … или = , (1.1)

где – универсальная функция.

Сами величины и могут меняться очень значительно от одного тела к другому, однако их отношение оказывается одинаковым для всех тел. Другими словами, сильнее поглощающее какие-либо лучи тело, будет их и сильнее испускать (не путать испускание с отражением).

Теперь появляется новая задача – найти универсальную функцию . Однако работать с двумя характеристиками и трудно, и тогда возникает идея абсолютно черного тела.

 

Абсолютно черное тело. Тело, полностью поглощающее упавшее на него излучение всех частот, называется абсолютно черным, .

Абсолютно черных тел не бывает в природе. Наиболее близки к ним сажа и платиновая чернь, но и то лишь в ограниченной области частот; в далекой инфракрасной области их поглощательная способность заметно меньше единицы.

Иногда вводят понятие «серое тело» с = , т.е. такое, которое поглощает лишь часть энергии, но одинаковую для всех частот.

Абсолютно черное тело интересно тем, что его испускательная способность равна универсальной функции: = . Поэтому возникает очевидная мысль – создать модель АЧТ и изучать его испускательную способность.

 

Реализация модели абсолютно черного тела (1861).

Другими словами, необходимо создать устройство, сколь угодно близкое по своим свойствам к модели

АЧТ. Такое устройство представляет собой замкнутую полость,

cнабженную маленьким отверстием, стенки которой поддерживаются при

определенной температуре . Излучение, попадающее через отверстие в

полость, может долго находиться внутри ее, испытывая отражение от

стенок, поглощаясь ими и вновь переизлучаясь – термолизуясь. Поэтому для

маленького отверстия 1.

Пример.

Если в яркий солнечный день рассматривать внутренность комнаты через открытое окно, то комната кажется темной.

 

В полости находится примерно равновесное излучение, которое, претерпев многократные отражения, будет выходить из отверстия. Т.о., если стенки полости поддерживать при некоторой постоянной температуре , то из отверстия выходит излучение, весьма близкое по спектральному составу к излучению АЧТ при той же температуре . Разлагая это излучение с помощью дифракционной решетки или системы зеркал в спектр и измеряя интенсивность различных участков спектра, можем экспериментально получить .

Опытным путем было найдено, что энергетическая светимость абсолютно черного тела сильно возрастает с температурой. Максимум испускательной способности с увеличением температуры сдвигается в коротковолновую область спектра.

Экспериментальные зависимости имеют вид:

 

 

В экспериментальных исследованиях удобнее пользоваться функцией длины волны

. В теоретических работах, как правило, используют функцию частоты .

Между этими функциями существует следующая связь:

; .

Для абсолютно черного тела интегральная испускательная способность ( энергетическая светимость) равна площади под кривой:

. (1.2)

 

Связь между энергетической светимостью и плотностью энергии излучения.

Для АЧТ легко найти связь между энергетической светимостью и плотностью энергии излучения [или между и .

Пусть имеется полость с абсолютно черными стенками, поддерживаемыми при постоянной температуре .

Выделим внутри полости площадку . Поток энергии, испускаемый единицей поверхности площадки (энергетическая светимость):

. (1.3)

Сосчитаем теперь энергию, приходящую на площадку из окружающего пространства.

Поскольку излучение равновесно, внутри полости через любую точку во всех направлениях проходит поток энергии одинаковой плотности или . Поэтому в пределах телесного угла , ось которого

наклонена под углом , в сторону площадки “летит” доля объемной

плотности энергии , которую можно найти как вероятность потока

энергии в элемент телесного угла , умноженную на объемную плотность

энергии ).

Тогда

.

За время на площадку под углом за время попадет энергия из объема :

Полная энергия, пришедшая на площадку за время ,

находится интегрированием по полному телесному углу ,

в пределах которого излучение падает на площадку:

 

½

Плотность потока энергии на (или через) единичную площадку :

. (1.4)

Т.к. в состоянии термодинамического равновесия исходящий (1.3) и приходящий (1.4) потоки энергии равны, то

, или . (1.5)

 

Закон Стефана-Больцмана.

 

Долгое время попытки теоретически получить вид функции не приводили к успеху. В 1879 г. Стефан, анализируя экспериментальные данные, пришел к выводу, что энергетическая светимость тел пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры: . Стефан считал, что этот закон справедлив для интегральной светимости всех тел. Однако оказалось, что он строго выполняется только для абсолютно черного тела. Это показал в 1884 г. Больцман, исходя из законов классической термодинамики и используя результаты теории электромагнетизма Максвелла.

. (1.6)

Приведенное соотношение между энергетической светимостью абсолютно черного тела и его термодинамической температурой получило название закона Стефана – Больцмана. Оно означает, что площадь под кривой растет пропорционально .

Константу называют постоянной Стефана-Больцмана. Ее экспериментальное значение равно .

 

Приложение.

Зависимость можно получить, если использовать одну из общих термодинамических формул

, (1.7)

где - давление, - объем, - внутренняя энергия газа.

Вспомним, как получается приведенная выше формула.

1) Первое начало термодинамики:

, поэтому , делим на при постоянной :

.

2) Свободная энергия

 

Для газа и, аналогично, для излучения имеем

, (1.8)

где внутренняя энергия; объем; объемная плотность энергии излучения.

Падающее под углом (к нормали) излучение, поглощаясь, передает

площадке за время импульс:

Давление этой компоненты излучения:

.

Тогда давление, оказываемое всем поглощаемым излучением, равно

Если поверхность излучает столько же, сколько поглощает, то , и давление, обусловленное поглощением и излучением равных порций излучения, равно

. (1.9)

Заметим, что тот же результат (1.9) можно получить из максвелловской теории электромагнетизма:

, здесь - вектор Пойнтинга.

Подставляя выражения (1.8) и (1.9) в уравнение (1.7), имеем

в левой части ,

в правой части .

Тогда

.

.

Примечания.

а) Аналогичный результат можно получить также путем рассмотрения цикла Карно.

б) Для нечерных тел закон Стефана-Больцмана не выполняется. Однако в некоторых случаях

удовлетворительно выполняется соотношение ,

1) если ввести коэффициент серости .

2) изменить показатель степени, сделав его больше или меньше 4.

3) существуют селективные излучатели, испускающее тепловое излучение лишь в определенном

частотном интервале.

Примеры.

1) При абсолютно черное тело с поверхности излучает

.

2) Проведем некоторые оценки. Пусть АЧТ с температурой находится в среде с

температурой и . Количество энергии, уходящей с поверхности тела в единицу времени,

, при .

а) Если в комнате (АЧТ) теплее, чем на улице (среда) на , и температура наружного воздуха , то уходящее из помещения излучение уносит ежесекундно энергию

.

б) Чувствительность кобры. Змея улавливает тепловое излучение тел, температура которых отличается от температуры среды на , что соответствует потоку энергии с единицы поверхности тела

() приблизительно .

в) Экстрасенсы. Их чувствительность в ИК-области очень высока, но зависит не только от интегральной интенсивности, но и положения максимума энергетической светимости.

 

2.Классическое описание излучения абсолютно черного тела.

 

К концу XIX в. было предпринято большое количество попыток (описания механизма) объяснения природы теплового излучения АЧТ в рамках классической физики.

 

I. Критерий и закон смещения Вина.

 

Вин, исходя из законов термодинамики и максвелловской теории электромагнетизма, сформулировал (1893г.) общее условие для универсальной функции (спектрального распределения) :

= – формула Вина, (1.10) (о выводе формулы Вина см. Сивухинт.IV, стр.686-691)

где некоторая функция отношения частоты излучения к температуре.

Другими словами, Вин вывел формулу для общего вида распределения энергии в спектре равновесного излучения, на основе которой он установил следующее правило.

Критерий Вина. Любое выражение функции спектрального распределения не должно противоречить формуле Вина, поскольку последняя получена из общих соображений.

Явный вид функции не ясен, т.к. для этого необходимо знание физического механизма излучения. Однако в формуле Вина был достигнут определенный результат, а именно: из функции выделена частота , и является теперь функцией лишь одной переменной .

Формулу Вина можно записать, используя в качестве переменных длину излучаемой волны и температуру тела :

, (1.11)

где – функция переменной .

Формула Вина позволяет получить

1) Закон Стефана-Больцмана

,

где , либо через : и .

 

2) Закон смещения Вина

Формула Вина (1.10) или (1.11) позволяет установить связь между частотой излучения (или длиной волны ), на которую приходится максимум функции спектрального распределения , и температурой тела .

Из опыта известно, что функция имеет два экстремума, причем, минимум при .

Продифференцировав выражение (1.10) по частоте

,

будем искать частоту , при которой универсальная функция достигает максимума.

Обозначив , можем записать

.

Решение этого уравнения относительно неизвестного дает некоторое число . Тогда , или

– закон смещения Вина (1896 г.). (1.12)

Закон смещения Вина утверждает, что длина волны , на которую приходится максимум энергии в спектре равновесного излучения, обратно пропорциональна температуре излучающего тела.

Этот закон является следствием формулы Вина.

Константа носит название постоянной Вина.

Луммер и Прингсгейм в 1897 г. экспериментально подтвердили справедливость закона смещения Вина, получив при этом значение .

 

Примеры.

1) Если человека рассматривать как АЧТ, то при максимум его светимости приходится

на длину волны мкм, т.е. лежит в инфракрасном диапазоне.

2) Сколько всего излучает человек: мощность излучения составляет

Вт, т.е. по интегральной мощности

человек «светит», как 60-ваттная лампочка, но в ИК-диапазоне.

На этом основании создавались приборы ночного видения.

 

II. Теория Рэлея-Джинса.

 

Суммировав сказанное выше, можно констатировать, что термодинамика, внеся важный вклад в развитие учения о тепловом излучении, на этом себя исчерпала и определить явный вид функции или , оказалась не в состоянии.

Для определения вида универсальной функции было необходимо привлечь статистические методы.

В 1900 г. Рэлей и Джинс, основываясь на теореме классической статистики о равномерном распределении энергии по степеням свободы, нашли выражение для функции спектрального распределения .

Равновесное электромагнитное поле (излучение) можно представить как систему стоячих волн, с частотами, заполняющими весь спектр излучения (такой подход аналогичен разложению спектра излучения в ряд Фурье).

Каждая стоячая волна обладает энергией (хотя и не переносит её), поэтому поле равновесного излучения можно найти, просуммировав энергии всех образующих его стоячих волн.

Другими словами, зная энергию, которой обладает стоячая волна, нужно на