double arrow

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

1

Практическое задание

Ткацкая фабрика производит ткань двух артикулов. Для производства 10 тыс. м2 ткани первого артикула фабрике необходимо a11 т тонковолокнистого и a21 т средневолокнистого хлопка, а для выпуска 100 тыс. м2 ткани второго артикула – соответственно, a12 и a22 т хлопка. Поставки тонковолокнистого хлопка не превышают b1 т, а средневолокнистого хлопка – b2 т.

По плану фабрика должна произвести не менее 60 тыс. м2 ткани 1-го артикула и 800 тыс. м2 ткани 2-го артикула. Прибыль фабрики от продажи 10 тыс. м2 ткани 1-го артикула составляет 1,6 тыс. руб., а от продажи 100 тыс. м2 ткани 2-го артикула – 6 тыс. руб.

Предполагая, что вся произведенная ткань будет распродана, определить оптимальный план производства ткани, обеспечивающий получение наибольшей прибыли [ 2 ].

 

Значения параметров aij (i = 1,2 и j = 1,2) и bj (j = 1,2) приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Вариант   а11   а12   а21   а22   b1   b2  
             
             
             
             
             
             
             
             
             
             

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ

 

1. Формализация задачи

Введем переменные: xi – количество выработанной ткани i-го артикула, i = 1,2, (для 1-го артикула - десятки тыс. м2, для 2-го – сотни тыс. м2).

Целевая функция (тыс. руб.) характеризует прибыль от продажи произведенной ткани двух артикулов:

F(x1, x2) = 1.6 x1 + 6 x2

Ограничения на переменные выражают лимиты на поставку сырья, а также плановые задания:

a11 x1 + a12 x2 ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 ≤ b2

x1 ≥ 6

x2 ≥ 8

Кроме того, следует учесть неотрицательность переменных, вытекающую из их физического смысла:

xi ≥ 0, i = 1,2

Все приведенные выше зависимости носят линейный характер, поэтому данная задача представляет собой задачу линейного программирования:

F(x1, x2) = 1.6 x1 + 6 x2 → max

при a11 x1 + a12 x2 ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 ≤ b2

x1 ≥ 6

x2 ≥ 8

xi ≥ 0, i = 1,2

2. Решение задачи

2.1. Геометрический метод решения задачи

Геометрически как целевая функция, так и границы области ограничений в системе координат переменных x1 и x2 представляют собой прямые линии [ 2 ]:

Перемещая линию целевой функции в направлении увеличения переменных до тех пор, пока хотя бы одна её точка принадлежит области допустимых значений, в точке С получим искомое оптимальное решение X* = (x1, x2) = (30, 10), при котором целевая функция получает максимальное значение Fmax = F(x1, x2).

2.2. Аналитический метод решения задачи

Переходя от нестрогих неравенств к равенствам, то есть, переводя ограничения в разряд активных ограничений, получим систему уравнений с двумя неизвестными:

a11 x1 + a12 x2 ≤ b1

a21 x1 + a22 x2 ≤ b2

x1 ≥ 6

x2 ≥ 8

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Например,

x1 + 5 x2 ≤ 80

3 x1 + 6 x2 ≤ 150

Систему двух уравнений с двумя неизвестными можно решить любым из известных способов (методом замены переменных, методом последовательного исключения переменных, т.е. методом Гаусса, методом Крамера и т.д.). Получим: x1 = 30, x2 = 10. Необходимо проверить и выполнение других ограничений: x1 ≥ 6, x2 ≥ 8, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 – полученное решение им удовлетворяет. Целевая функция при таких значениях аргументов будет иметь максимальное значение равное F(x1, x2) = 1.6 x1 + 6x2 = 1.6*30 + 6*10 = 108.

3. Выводы:

Для получения максимальной прибыли в заданных условиях (расход сырья, лимиты поставок, цены на ткань различного артикула) наиболее целесообразно выпустить и продать 300 тыс. м2 ткани первого артикула и 1000 тыс. м2 ткани второго артикула. Прибыль при этом составит 108 тыс. рублей.

 

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


1

Сейчас читают про: