Колебательные контуры. Свободные и вынужденные колебания

Тема № 12 Генераторы гармонических колебаний.

· 12.1. Колебательные контуры. Свободные и вынужденные колебания.

· 12.2. Связанные колебательные контуру.

· 12.3. Трёхточечные колебательные системы.

· 12.4. Генераторы гармонических колебаний.

· 12.5. Блок-схема автогенератора. Работа.

· 12.6. Условия самовозбуждения автогенератора.

· 12.7. Электропитание автогенераторов.

· 12.8. Рабочие режимы генераторов.

· 12.9. Автогенераторы L-C (схема,работа).

· 12.10. Автогенераторы R-C (схема, работа).

· 12.11. Трёхточечные автогенераторы (разновидности, схемы, работа)

· 12.12. Стабилизация частоты генераторов.

· 12.13. Кварцевые автогенераторы.

· 12.14. Автогенераторы на туннельных диодах.

· 12.15. камертонные резонаторы.

Колебательные контуры. Свободные и вынужденные колебания.

В качестве колебательных систем используются колебательные контуры, состоящие из кон­денсаторов и катушек индуктивности.

Предположим, в простейшем колебательном контуре (рис. 22.1, а) активное сопротивление контура равно нулю и потерь энергии в нем нет. Если переключатель П перевести в положе­ние 1 и подключить конденсатор С к внешнему источнику, конден­сатор зарядится до напряжения источника U. В электрическом поле между пластинами конденсатора (рис. 22.1, б) будет запасе­на энергия W _c= CU ²/2, Если переключатель перевести в поло­жение 2, конденсатор начнет разряжаться на катушку индуктив­ности L. Ток разряда будет нарастать постепенно, так как этому препятствует э. д. с. самоиндукции катушки; энергия электрическо­го поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля ка­тушки (рис. 22.1, в). К концу разряда конденсатора напряжение на нем снизится до нуля, а энергия в магнитном поле катушки составит W _L= LI ²/2.

Поскольку рост тока разряда прекратился, э.д. с. самоиндук­ции катушки снизится до нуля, и ток в контуре начнет убывать. В катушке L возникнет э. д. с, препятствующая уменьшению тока. Этим током вновь зарядится конденсатор и между его обкладка­ми появится напряжение, противоположное по знаку первоначаль­ному (рис. 22.1,г). Когда ток спадет до нуля, напряжение на кон­денсаторе достигнет минимума. При отсутствии потерь в контуре W _C= CU ²/2= W _L= LI ²/2. В дальнейшем процессы повторяются (рис. 22.1, д и е). Сказанное иллюстрируют графики (рис. 22.1, ж). В моменты t ₀, t ₂, t ₄ конденсатор заряжен до напряжения источни­ка U, ток отсутствует, вся энергия сосредоточена в электрическом поле конденсатора. В моменты t₁, t₃напряжение на конденсаторе равно нулю, ток максимален, а энергия сосредоточена в магнит­ном поле катушки. В процессе этих изменений (колебаний) на пластинах конденсатора возникает переменное напряжение, а в контуре протекает переменный ток; энергия электрического поля периодически превращается в энергию магнитного поля. После отключения контура от источника в нем возникают свободные ко­лебания (колебания без внешнего источника энергии). Амплитуда колебаний определяется количеством первоначально полученной энергии, а период и частота — параметрами контура.

В процессе свободных колебаний в контуре без потерь напря­жения на катушке и конденсаторе одинаковы, через них протекает один и тот же ток, а реактивные сопротивления конденсатора и катушки равны между собой: x_L=x_Cили 2πf₀L=1/(2πf₀C), отсю­да частота и период свободных колебаний:

(ff)

Рис. 22.1 Свободные электрические колебания в контуре.

Затухание колебаний вконтуре. Реальный контур обладает активным сопротивлением, на котором часть энергии превращает­ся в тепло, поэтому свободные колебания постепенно убывают (затухают) по амплитуде (рис. 22.2, а).Для снижения тепловых потерь энергии подбором элементов Lи Сстремятся уменьшить активное сопротивление контуров. Однако затухание амплитуд свободных колебаний тока и напряжения зависит не только от значения активного сопротивления, но и от соотношения величин Lи С, поэтому свойства контуров оценивают добротностью.

Под добротностью понимают отношение индуктивного или ем­костного сопротивления контура на частоте f₀свободных колеба­ний к его активному сопротивлению

(jj)

Хороший контур имеет добротность порядка сотен. В таком контуре амплитуда свободных колебаний затухает медленно (рис. 22.2, б). Величина, обратная добротности, называется зату­ханием контура

Скорость снижения запаса колебательной энергии в контуре характеризует декремент затухания. Он показывает, какую часть своей энергии теряет контур за половину периода, и составляет

(22.3)

Контуры с большим значением активного сопротивления отно­сят к апериодическим. В них энергия, полученная в течение пер­вого полупериода колебаний, превращается в тепло, и колебатель­ный процесс на этом заканчивается (рис. 22.2, в).

Исследования показывают, что колебания в контуре возможны лишь при условии r <2√ L/C. Величина √ L/C является важной характеристикой контура и называется волновым сопротивлением

(22.4)

Волновое сопротивление равно реактивному сопротивлению контура на частоте свободных колебаний:

(22.5)

Декремент затухания с. учетом выражения (22.4) можно пред­ставить

(22.6)

Из выражений (22.2) и (22.3) следует, что

(22.7)

Рис. 22.2. Затухающие свободные колебания.

Вынужденные колебания в последовательном контуре. Для по­лучения незатухающих колебаний в контуре необходимо компенси­ровать потери энергии на его активном сопротивлении. С этой целью контур (рис. 22.3, а)подключают к внешнему источнику

переменной э. д. с. e=E_msinωt. Под действием этой э. д. с. в конту­ре возникают вынужденные незатухающие колебания. Действую­щее значение напряжения на зажимах внешнего источника

(22.8)

где I — действующее значение тока в контуре;

z — модуль полного сопротивления контура;

r — активное сопротивление контура;

х_L — индуктивное сопротивление катушки индуктивности;

х_C — емкостное сопротивление конденсатора.

Когда реактивные сопротивления оказываются равными меж­ду собой (х_L = х_C), в контуре наступает резонанс. Частота внеш­него генератора f=1/(2π√LC) совпадает с частотой собственных колебаний контура f₀. Такой режим может быть достигнут изме­нением параметров контура или частоты генератора, питающего контур. При резонансе (когда х_L = х_C) полное сопротивление кон­тура равно его активному сопротивлению (z=r),а поскольку r мало, ток в контуре максимален:

(22.9)

где

При резонансе (x_L=x_C) на катушке и конденсаторе создаются равные по значению, но противофазные напряжения U_L=U_C, где U_L=I_px_L и U_C=I_px_C.Эти напряжения компенсируют друг друга, поэтому согласно (22.8) напряжение внешнего источника U=U_r=I_pr. Соотношения напряжений на реактивных элементах и внешних зажимах источника

Учитывая, что на резонансной частоте согласно (22.4) x_L=ρ,поэтому

(22.10)

Отсюда следует, что напряжения на реактивных элементах контура при резонансе в Q раз превышают напряжение внешнего источника, поэтому резонанс в последовательном контуре получил наименование резонанса напряжения.

Сопротивление последовательного контура

зависит от частоты f питающего напряжения генератора. Если эта частота ниже частоты собственных колебаний контура (f<f₀), то емкостное сопротивление преобладает над индуктивным и контур для источника сигнала имеет сопротивление емкостного характе­ра. Если частота питающего напряжения больше собственной ча­стоты контура (f>f₀), то индуктивное сопротивление больше ем­костного и контур для источника сигнала имеет сопротивление индуктивного характера. При резонансе (f=f₀) сопротивление последовательного контура мало и имеет активный характер. Графи­чески зависимость полного сопротивления последовательного кон­тура от частоты приведена на рис. 22.3 б.

Рассмотрим резонансные кривые. Если емкость контура С ₀, соответствующую резонансу напряжений, изменить на некоторую величину Δ С, оставляя неизменными другие параметры схемы, то резонанс в контуре нарушается и ток в контуре снизится

(22.11)

Из соотношения квадрата тока при резонансе I _р² к квадрату тока I ² в расстроенном контуре [см. выражения (22.9) и (22.11)]

(22.12)

следует, что уменьшение тока при расстройке Δ С зависит от де­кремента затухания контура υ. Обычно расстройка [см. уравнение (22.9)] сказывается тем сильнее, чем меньше декремент затуха­ния (рис. 22.3, в).

Если параметры контура оставить неизменными, а изменить частоту э. д. с. генератора на величину Δω против резонансной ω₀, то соотношение между токами при резонансе и при расстройке можно представить

(22.13)

Рис. 22.3. Последовательный колебательный контур и его характеристики.

Из резонансных кривых (рис. 22.4, а) следует, что максималь­ный ток в контуре возникает лишь при резонансной частоте. Ре­зонансные кривые тем уже, чем меньше затухание контура d. Если затухание контура d велико, то при настройке контура на желаемую частоту одновременно в контур пройдут и другие близ­кие частоты, поскольку небольшое различие в частоте мало отра­зится на токе контура. Чем меньше "затухание контура, тем боль­ше значение тока в нем.

Рассмотрим полосу частот контура. Обычно контур рассчиты­вают на прием не одной частоты f₀, а полосы частот, лежащих в интервале (f₀+Δ F)— (f₀-Δ F)=2Δ F частот. Полосу пропускания контура по току ограничивают полосой частот, в_пределах которой ток в контуре уменьшается не более чем в 1/√2≈0,707 раза, что соответствует ослаблению мощ­ности колебаний в 2 раза (рис. 22.4, б). Полоса пропускания определяется равенством 2Δ F= f₀/Q= d f₀

Рис. 22.4. Резонансные кривые колебательного контура.

Вынужденные колебания в параллельном контуре. При параллельном включении источника э. д. с., конденсатора и катушки индуктивности (рис. 22.5. а) токи в индуктивной и емкостной ветвях:

где U-напряжение источника питания.

- сопротивление индуктивной ветви контура.

Ток в неразветвленной (питающей) цепи

I₀=U/z_к (22.14)

На рис. 22.5, б —г приведена векторная диаграмма токов в па­раллельном контуре при резонансе, т. е. при равенстве частот ис­точника и собственных колебаний (f=f₀). При резонансе можно принять равными реактивные сопротивления ветвей x _L= x _С и токи в ветвях контура I _L= I _C= I _K. Ток I _C в емкостной ветви опережает приложенное напряжение U на 90°, а ток I _L в ветви с индуктив­ностью отстает от U на 90°, следовательно, токи в ветвях противофазны (см. рис. 22.5, б).

В реальных условиях в конденсаторе и катушке индуктивности имеют место потери энергии, поэтому токи I _C и I _L в ветвях сдви­нуты на угол менее 180°. Сумма этих токов дает ток I_o во внешней (питающей) цепи Ī_o=Ī_C+Ī_L. При резонансе этот ток имеет наи­меньшее значение и совпадает по фазе с напряжением U источни­ка (см. рис. 22.5, б). Отклонение частоты источника от собствен­ной приводит к неравенству токов в ветвях, увеличению тока I_o во внешней цепи и его несовпадению по фазе с приложенным на­пряжением (см. рис. 22.5,в и г). Анализ показывает, что при ре­зонансе ток I _K= I _L= I _C в ветвях параллельного контура в Q раз больше питающего тока источника:

I _K=QI₀, (22.15)

поэтому резонанс в параллельном контуре именуют резонансом токов.

При резонансе токов реактивные проводимости ветвей парал­лельного контура компенсируют друг друга, поэтому его резо­нансное сопротивление имеет активный характер. Эквивалентное сопротивление параллельного контура при резонансе токов

(22.16)

Рис. 22.5. Диаграмма токов и напряжений в параллельном контуре.

С изменением частоты питающего напряжения меняются вели­чина и характер эквивалентного сопротивления параллельного контура. На частоте ниже резонансной (f<f_p) индуктивное сопро­тивление меньше емкостного (х _L< x _C), большая часть тока будет протекать в индуктивной ветви; сопротивление контура примет индуктивный характер (рис. 22.6, а). На частотах f>f_p будет преобладать индуктивное сопротивление (х _L> x _C), поэтому пре­обладает ток в емкостной ветви, а сопротивление контура носит емкостный характер.

Параллельный контур характеризуется резонансными кривыми по току I _o=j(f) и напряжению U _к=j(f), приведенными на рис. 22.6, б. На резонансной частоте сопротивление контура и на­пряжение на нем имеют наибольшее значение, а ток I_o в питаю­щей цепи минимален. Форма резонансных кривых и полоса про­пускания зависят от параметров контура.

Полоса пропускания параллельного контура определяется по резонансной кривой напряжения. Она ограничивается диапазоном частот, на границах которого напряжение U _к на контуре снижа­ется в √2 раза по сравнению с напряжением при резонансе (см. рис. 22.6, б).

Полоса пропускания параллельного контура

(22.17)

Если эквивалентное резонансное сопротивление контура равно внутреннему сопротивлению внешнего источника энергии (z _к= R_i), то 2Δ F =2f₀/Q. Полоса пропускания параллельного конту­ра шире, чем последовательного [см. выражения (22.12) и (22.17)], и существенно зависит от внутреннего сопротивления источника энергии, шунтирующего контур.

Рис. 22.6. Частотная зависимость сопротивления, напряжения и тока в параллельном контуре.

Рассмотрим виды параллельных контуров. Для согласования сопротивления параллельного контура с внутренним сопротивле­нием источника энергии без изменения параметров контура при­меняют неполное включение контура. При неполном включении можно изменять точку подключения контура и таким путем подо­брать его сопротивление. В связи с этим различают контуры I, II и III видов. К I виду относят контур, в котором в одной ветви сосредоточена индуктивность, а в другой — вся емкость (рис. 22.7, а). Если в одной ветви включена только индуктивность, а в другой — индуктивность и емкость (рис. 22.7, б), контур относят ко II виду. Контур III вида содержит в одной ветви только ем­кость, а в другой — емкость и индуктивность (рис. 22.7, в).

Рис. 22.7. Виды параллельных контуров.