Приемы решения нестандартных задач определенных видов

Задачи, решаемые приемом «уравнивания»

Прием уравнивания эффективен при решении задач, в которых речь идет об известном целом, состоящим из нескольких неравных частей и указывается «разница» между частями. Для создания условий самостоятельному «открытию» учениками приема преобразования модели и применения его в изменяющихся условиях важен подбор постепенно усложняющихся задач с таким сюжетом, который, будучи основанным на жизненном опыте детей, «подсказывал бы им решение. Например:

Задача. У брата и сестры вместе 30 рублей. Сколько денег у каждого, если у брата на 8 рублей больше, чем у сестры?

К таким задачам возможны два варианта модели. Чтобы подвести учеников к выбору более удобной для показа решения модели и помочь им «выйти» на один из возможных способов решения задачи о разделе денег между братом и сестрой, можно предложить вспомогательную задачу: «У тебя в двух карманах лежат деньги, причем в одном из них – на 10 рублей больше, чем в другом. Что нужно сделать, чтобы денег в карманах стало поровну?»

– Покажи на схеме, как были разложены деньги. Как удобнее расположить отрезки? (Один под другим, тогда сразу видно, что денег не поровну, что на 10 рублей разница.)

– Покажем на схеме, как можно сделать так, чтобы денег в карманах стало поровну? Как уровнять отрезки? (Надо 10 разделить на две равные части – монеты по 5 рублей. Одну монету в 5 рублей оставить, а вторую переложить в другой карман.)

Теперь можно вернуться к предыдущей задаче, чтобы сравнить две ее модели-схемы. В результате обсуждения выясняем, что на первой схеме хорошо видно разницу в 8 рублей, сумма 30 рублей показана фигурной скобкой. На второй схеме лучше показана сумма – целое 30 рублей, но одинаковые отрезки («столько же») на глаз трудно определить, надо проверять циркулем. Сравнив обе схемы со схемой к задаче об уравнивании денег, приходим к мнению:

– Будем работать с той моделью, на которой хорошо видно разницу и одинаковые части.

Учитель делает установку: надо найти три способа решения. При затруднении ученикам предлагаются для анализа выражения, которые нужно соотнести со схемой, преобразовать ее в соответствии с каждым выражением и подумать: может ли данное выражение быть началом решения. В ходе обсуждения ученики трижды преобразовывают модель задачи и «выходят» на три способа решения.

Если бы брат отдал кому-нибудь 8 рублей, то у него стало бы денег столько же, сколько у сестры, а у них двоих стало бы на 8 рублей меньше: 30 – 8

Если бы сестре кто-нибудь дал еще 8 рублей, то у нее стало бы денег столько же, сколько и у брата, а у них двоих стало бы на 8 рублей больше: 30 + 8

Если бы брат с сестрой сначала разделили деньги поровну (30:2), тогда, чтобы у брата стало на 8 рублей больше, сестре надо отдать ему своих 4 рубля

После такой подготовительной работы ученики могут самостоятельно закончить решение. Уточняется:

– Зачем убирали из 30-ти 8 или добавляли 8 к 30? (Мы старались получить равные части.)

– Как мы получали равные части? (Убирали лишнее или добавляли недостающее и получали две равные части.)

– Опираясь на две первые схемы, постарайтесь решить задачу двумя способами. Дети находят и объясняют такие решения:

1 способ:	2 способ:
1) 30 – 8 = 22 (р.) – станет всего, 2) 33: 2 = 11 (р.) – у сестры, 3) 11 + 8 = 19 (р.) – у брата.	1) 30 + 8 = 38 (р.) – станет всего, 2) 38: 2 = 19 (р.) – у брата, 3) 19 – 8 = 11 (р.) – у сестры.

– Я начала решать третьим способом так: 30: 2 = 15 (р.). Что означает число 15? (По 15 рублей было бы у брата и у сестры, если бы деньги разделили поровну.)

– Продолжите решение по третьей модели.

Ученики могут предложить еще 2 действия, не объяснив, откуда взялось число 4. В этом случае следует обратить внимание на то, что в условии задачи дано число 8, а не число 4 и что надо доказать, откуда «взяли» число 4.

8: 2 = 4 (р.) – сестра отдаст брату, чтобы у него стало на 8 рублей больше.

15 – 4 = 11 (р.) – останется у сестры, когда она отдаст 4 рубля брату.

15 + 4 = 19 (р.) – станет у брата.

– Как проверить последнее решение? (Из 19 вычесть 11, получится разница 8 рублей. К 19 прибавить 11 получится 30 рублей всего. Ответы 11 и 19 соответствуют условию задачи.)

– Подытожим. Охарактеризуем каждый способ решения. Что в них общего?

– Мы старались уравнять в первом случае по меньшей части, для чего большую уменьшили на 8 и целое 30 уменьшили на столько же. Во втором случае уравнивали по большей части, увеличив меньшую часть и целое 30 на 8. В третьем случае сразу разделили целое 30 на две равные части, а потом сделали их неравными с разницей в 8 рублей.

Уточнив особенности каждого из трех способов решения задачи о распределении целого на неравные части приемом предварительного их уравнивания, ученикам можно предложить задачу, усложненную по отношению к только что решенной, чтобы создать возможность применению «открытого» учениками приема в новой ситуации.

Например, задача: «В корзине 45 фруктов. Яблок вдвое больше, чем груш и апельсинов вместе, а количество апельсинов – это одна вторая часть количества груш. Сколько яблок и сколько груш в корзине?»

Решение задач рассуждениями «с конца»

Младшим школьникам интересны необычные задачи, со сказочными, бытовыми и историческими сюжетами. К нестандартным задачам относятся, так называемые, «задачи, решаемые с конца». В тексте задачи, рассматриваемого вида, сюжет разворачивается не линейно, а ступенчато, а арифметические действия при ее решении не всегда выполнимы на множестве натуральных чисел.

Однако на практике учащиеся, встречаясь с такими задачами, испытывают трудности в их решении, при поиске решения которых никакой прежний опыт не помогает, требуется догадка, «открытие». Можно ли помочь ученику прийти к такой догадке, дать ему некоторое средство, помогающее «открытию»? Этот вопрос интересует многих математиков, методистов и учителей. Опишем методы и приемы, помогающие находить решение некоторых видов нестандартных задач.

Задачи, решаемые «с конца» часто встречаются в пособиях для внеклассной работы, в дидактических материалах, в журнале «Начальная школа». В пособии «Математическая шкатулка» (Ф.Ф. Нагибин и Е.С. Канин) такие задачи составляют рубрику «Решение задач с конца». В нее включены «бессюжетные» задачи, например: «Я задумал число, прибавил к нему 1, умножил сумму на 2, произведение разделил на 3 и отнял от результата 4. Получилось 5. Какое число я задумал?»

Сюжетные задачи также включены авторами в эту рубрику: «В ящике лежат лимоны. Сначала из него взяли половину всех лимонов и половину лимона, затем половину остатка и еще половину лимона, наконец, половину нового остатка и опять половину лимона. После этого в ящике остался 31 лимон. Сколько лимонов было в ящике вначале?»

В статье «Обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач» Е.Е. Останина предприняла попытку сделать рекомендации к решению нестандартных задач, в частности, одна из рекомендаций – «решать задачу, начиная «с конца».

Многие методисты, математики, учителя, выделяют в своей практике задачи, решаемые рассуждениями «с конца». И все эти задачи разного характера: геометрические, вычислительные, сюжетные, числовые игры. Причем, мы понимаем задачу не в узком смысле, а в широком, то есть это задача, в которой выделяется условие (та часть, где содержится сведения об известных значениях величин, об отношениях между ними) и требование (т.е. указание на то, что нужно найти).

Попытаемся дать характеристику задач данного вида:

- в задаче известно число, полученное в результате выполнения каких-либо арифметических или практических действий, арифметические действия явно не указаны;

· при поиске решения задачи рассуждения ведутся «с конца»;

· при решении задачи выполняются действия, обратные тем, что описаны в задаче;

· в сюжете текстовой задачи изложены изменения: «разбиение» исходного – искомого числа, чаще всего, на равные, реже – на неравные части;

·в бессюжетных задачах явно указываются действия, которые были выполнены над исходным – искомым числом;

· бессюжетные задачи называют фокусами или играми.

В бессюжетных задачах отсутствует сюжет, в условии конкретно указываются действия с числами. Они направлены на закрепление различных вычислительных приемов, совершенствование вычислительных навыков. К таким задачам относятся: некоторые математические игры, рассмотренная; математические фокусы, предлагаемые в качестве развлечений.

В сюжетных задачах есть сюжет (сказочный, бытовой) с некоторым познавательным эффектом. Они подразделяются на 2 подгруппы. Первый вид – задачи на распределение на равные части. К ним, например, относятся задачи, предложенные в пособии «Математическая шкатулка» Ф.Ф. Нагибина и Е.С. Канина (задача про лимоны); задача, рассмотренная в статье Е.Е. Сафоновой (задача про сливы). Для таких задач характерно, что в них «раздают», «переносят», «продают» распределяя по пол-яйца, пол-лимона, полтабуна с полулошадью и т.п. на две, три… части, причем дополняя по пол-яйца, по полтабуна и т.п. Второй вид – задачи на распределение на неравные части. Такие задачи представлены в «Математической шкатулке» Ф.Ф. Нагибина и Е.Е. Канина и в книге Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки, или Арифметика для всех». В основе таких задач лежит поучительная история. В этих задачах неизвестно какое-то определенное количество денег, или целых яблок, или других предметов, которое делят на две, три… неравные части или отдают несколько раз по сколько-то, но дано число, полученное в результате всех этих практических действий. Появляется необходимость рассмотреть, в какой мере задачи, решаемые рассуждениями «с конца», отражены в различных курсах математики.

Проанализировав различные курсы математики, мы выяснили, что из задач, решаемых рассуждениями «с конца» больше всего изучаются бессюжетные задачи, они направлены на открытие и закрепление различных вычислительных приемов, совершенствование вычислительных навыков. И каждый автор использует свои методические приемы.

Воспитанию интереса младших школьников к математике, развитию их математических способностей, логического мышления в большей мере способствуют нестандартные сюжетные задачи, решаемые рассуждениями «с конца». Рассмотрим одну из таких задач подробнее.

Задача. 1. К табунщику пришли три казака покупать лошадей: «Хорошо, я вам продам лошадей, - сказал табунщик, - первому продам я полтабуна и еще половину лошади, второму – половину оставшихся лошадей и еще пол-лошади, третий также получит половину оставшихся лошадей с полулошадью. Себе же я оставлю только 5 лошадей» Удивились казаки, как это табунщик будет делить лошадей на части, но после некоторых размышлений они успокоились, и сделка состоялась. Сколько же лошадей продал табунщик каждому из казаков?

Начнем рассуждения задачи с «конца».

Третий казак получил 5 и еще 1, т.е. 6 лошадей. Еще одна лошадь - та, которую невозможно было разделить пополам, поэтому третий казак взял половину остатка и еще пол-лошади, т.е. 6 лошадей, да еще 5 лошадей осталось у табунщика. Остаток от продажи второму покупателю составил 11 лошадей. Вторую половину, тоже 11 и ещё одну лошадь, т.е. 12 лошадей, купил второй казак. Он получил половину оставшихся лошадей после покупки первым и еще пол-лошади, т.е. 12 лошадей. Остаток после покупки первым казаком 11 да 12 всего 23 лошади. Первый получил половину табуна с половиной лошади, т.е. 24 лошади.

Прием рассуждений с конца «с конца» является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Пример: Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал. Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю. Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов. Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?

Решение:

Начинаем рассуждение «с конца».

Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12

Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18

Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена – 5 рогаликов.

Решение задач по «старинным» правилам, например, применение «фальшивого» правила или правила ложного положения.

С самой глубокой древности и до XIX в руководствах по арифметике занимал очень видное место так называемый метод ложного положения или метод предположений. Долгое время этот метод заменял применение уравнений первой степени при решении задач, приводимых к этим уравнениям. Сущность метода «ложного положения» в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.

Способ ложного положения - древний способ, применявшийся при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени, еще египтянами в древности. Этот способ рассматривался и в старинном русском учебнике Л.Ф. Магницкого под названием «Фальшивое правило». Этот способ полезно знать, он дает возможность решить арифметически многие задачи.

Задача 2:Летела стая гусей, а навстречу ей один гусь. «Здравствуйте, 100 гусей»,- говорит он, а вожак стаи отвечает: «Нас не 100 гусей. Если бы нас было столько, сколько теперь, да ещё столько, да ещё пол столько, да ещё четверть столько, да ещё ты, гусь, то нас было бы ровно 100гусей».

Сегодня бы школьник прочтя такую задачу, сразу же составит уравнение и, если хорошо умеет справляться с дробями, найдет из него, что х=36. Но в Древнем Египте про то, что неизвестные числа можно обозначать буквами, а потом работать с ними как известными величинами, и не подозревали. С дробями у них тоже были сложности. Однако, египтяне придумали метод решения задач, который назвали «методом кучи» (по-египетски – «аха»).

Прочтя задачу про гусей, египетский писец Ахмес сказал бы: «считай с четырех». Это значило: «Считай, что в стае было четыре гуся». Тогда простой подсчет показывает, что столько, да еще столько, да еще полстолька, да еще четверть столько дают 4+4+2+1, то есть 11 гусей, а нужно получить не 11, а 99 гусей (100–1). Так как 99:11=9, то надо взятое вначале число 4 умножить на 9. Тогда получится правильный ответ 36.

Поскольку вначале делается предположение, что число гусей равнялось четырем, этот способ называют теперь «Правилом ложного положения»

Приведем решение задачи способом ложного положения, или «фальшивым правилом». Из книги Магницкого:

Задача 3:Спросил некто учителя: «Сколько у тебя в классе учеников, так как хочу отдать к тебе в учение своего сына». Учитель ответил: «Если придет еще столько же учеников сколько имею, и полстолька и четвертая часть и твой сын, тогда будет у меня учеников 100». Спрашивается, сколько было у учителя учеников?

Магницкий дает такой способ решения.

1). Делаем первое предположение: учеников было 24.

Тогда по смыслу задачи к этому числу надо прибавить «столько, полстолька, четверть столька и 1», то есть имели бы:

24+24+12+6+1=67, то есть на 100—67=33 меньше (чем требовалось по условию задачи), в этом случае число 33 называем «первым отклонением».

2. Делаем второе предположение: учеников было 32, тогда имели бы:

32+32+16+8+1=89, то есть на 100—89=11 меньше это «второе отклонение».

На случай, если при обоих предположениях получилось меньше, дается правило: помножить первое предположение на второе отклонение, а второе предположение на первое отклонение, отнять от большего произведения меньшее и разность разделить на разность отклонений.

Учеников было 36.

Таким же правилом надо руководствоваться, если при обоих предположениях получилось больше, чем полагается по условию. Например:

Первое предположение: 52, тогда имеем 52+52+26+13+1=144.

Получили на 144–100=44 больше (первое отклонение).

Второе предположение: 40, имеем: 40+40+20+10+1=111.

Получили на 111–100=11 больше (второе отклонение).

Если при одном предположении получим больше, а при другом меньше, чем требуется по условию задачи, то нужно при указанных выше вычислениях брать не разности, а суммы.

При помощи самых начальных сведений алгебры эти правила легко обосновываются.

Метод перебора

Как Вы уже знаете, существуют задачи, для которых доказано отсутствие общего алгоритма решения (например, задача о разрешимости Диофантова множества). В то же время, можно сказать, что, если бы мы обладали бесконечным запасом времени и соответствующими ресурсами, то мы могли бы найти решение любой задачи. Здесь имеется в виду не конструирование нового знания на основании имеющегося (вывод новых теорем из аксиом и уже выведенных теорем), а, прежде всего, "тупой" перебор вариантов.

Еще в XVII столетии великий Лейбниц пытался раскрыть тайну "Всеобщего Искусства Изобретения". Он утверждал, что одной из двух частей этого искусства является комбинаторика - перебор постепенно усложняющихся комбинаций исходных данных. Второй частью является эвристика - свойство догадки человека. И сейчас вторая часть Искусства Изобретения все еще остается нераскрытой. На языке нашего времени эта часть - модель мышления человека, включающая в себя процессы генерации эвристик (догадок, изобретений, открытий).

Однако прежде чем перейти к рассмотрению улучшенных переборных алгоритмов (улучшенных потому, что для простого перебора у нас в запасе нет вечности), я бы отметила еще один универсальный метод ускорения перебора - быстрое отсечение ложных (или вероятно ложных, что и используется большинством алгоритмов) ветвей перебора.

Задача 4.В клетке находятся кролики и фазаны. Всего 6 голов и 20 ног. Сколько кроликов и сколько фазанов было в клетке?

- Если бы был 1 кролик, а фазанов – 5, то ног у них было бы 14 и т. д.

Решение лучше оформить в виде таблицы: