Нетиповые и нестандартные задачи с тройкой пропорциональных величин

В начальных классах дети знакомятся с тройками пропорциональных величин:

- цена, количество стоимость;

- скорость, время, расстояние;

- длина, ширина, площадь;

- масса одного предмета, количество предметов, общая масса;

- расход материала на одну вещь, количество вещей, общий расход;

- производительность труда (выработка в единицу времени), время работы, общая выработка;

- урожайность (урожай с единицы площади), площадь, общий урожай.

Процесс формирования у младших школьников умения решать задачи на пропорциональную зависимость предполагает несколько этапов.

I этап ориентирован на обучение учащихся выделять тройку величин из текста.

II этап направлен на приобретение учащимися умения раскрывать связи между величинами. Важным инструментом для решения этой задачи является построение вспомогательной модели задачи.

III этап предполагает умение решать простые текстовые задачи. Умение включает в себя – выделение тройки величин из текста; – табличное или схематическое моделирование задачи (в зависимости от учебной программы либо умений детей); – осуществление поиска способа решения задачи на основе нахождения неизвестной величины по двум известным.

С этими величинами можно особо выделить 3 вида составных типовых задач:

1) на нахождение четвёртого пропорционального;

2) на пропорциональное деление;

3) на нахождение неизвестного по двум разностям.

Первый из этих видов вводится в 3 классе, а второй и третий – в 4 классе. В каждом из видов этих задач даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью. Причем, одна величина постоянна (не изменяется), а две – переменные. При этом даны два значения одной переменной величины. У другой переменной величины одно из значений известно, а второе значение этой величины является искомым (нахождение 4-го пропорционального). Если сами значения этой величины не даны, но известна их сумма, то задача является задачей на пропорциональное деление, а, если дана разность неизвестных значений, то задачу называют задачей на нахождение неизвестного по двум разностям. Типовые задачи могут быть как стандартными, способ решения которых специально изучается, так и нестандартными, путь решения которых надо находить ученикам самим или под руководством учителя, поскольку его не изучают в начальных классах. Нестандартными для младших школьников часто выступают задачи с тройкой величин, в которых постоянной величиной является: стоимость, расстояние, общая масса, вся работа и т.п., т.е. величина, получаемая умножением того, что приходится на единицу на количество, например, стоимость равна цене, умноженной на количество.

Приведем примеры таких задач:

1. Видиокассета дороже аудиокассеты на 40 рублей. Шесть видиокассет стоят столько же, сколько 10 аудиокассет. Сколько стоит каждая аудиокассета?

2. Грузовик проезжает за 10 часов некоторое расстояние, если бы он проезжая в час на 10 км больше, то ему потребовалось бы на этот путь 8 часов. Какими были этот путь и его скорость?

Это типовые нестандартные задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Способ их решения также не стандартен. Рассуждать можно так: проезжая по 10 лишних километров каждый из 8 часов, автомобиль проедет 80 км, которые при прежней скорости он проехал бы за 2 часа. Значит первоначальная скорость была равна 40 км (80:2), а увеличенная скорость была бы 50 км (40+10). Проверяем: 40х10=50х8. Действительно расстояние одно и то же.

В частности, нетиповые (нестандартные) задачи – это задачи, для получения ответа в которых арифметические действия или не выполняются вообще, или выполняются в минимальном количестве.

К ним, например, относятся задачи:

- с недостающими или избыточными данными;

- с противоречивыми условием и вопросом и др.

Возникает необходимость работать над частями такой задачи: условием и вопросом, позже это данное и искомое, смысловым содержанием текста, преобразуя текст в задачи разного вида: простую или составную задачу.

К нестандартным задачам с тройкой пропорциональных величин можно отнести и так называемые старинные задачи. Например, на процесс движения или процесс купли – продажи:

Задача 1. В колико дней сойдутся?

Один путник идет от града в дом, а ходу его будет 10 дней, а другой от дому во град тот же путь творяше, может пройти в 20 дней, оба же сии человека пойдоша во един и тот же час от мест своих, и ведательно есть, в колико дней сойдутся (Магницкий). (За ²⁰/₃ дня или 6 ²/₃дня.)

Задача 2. Собака и заяц.

Собака усмотрела в 150 саженях зайца (1 сажень = 2,13 м), который перебегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака в 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца? (Задачник Войтяховского.) (Через 15 минут.)

Задача 3. Собака и лиса.

Собака погналась за лисицей, которая была на расстоянии 30 м от нее. Скачок собаки равен 2 м, скачок лисицы – 1 м. В то время как лисица делает 3 скачка, собака делает 2 скачка. Какое расстояние должна пробежать собака, чтобы догнать лису? (120 м.)

Задача 4. На охоте.

Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидела зайца, За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем и собакой.) (240 скачков.)

Задача 5. По сколько верст в день?

Одному курьеру приказано прибыть к назначенному месту в 12 дней, к которому он прежде, ехав всякие сутки по 228 верст (1 верста = 1, 07 км), прибыл в 15 дней. Спрашивается, по сколько верст должен он проезжать в сутки, дабы поспеть к тому месту в назначенное время. (Задачник Войтяховского.) (По 285 верст в сутки.)

Задача 6. Через сколько дней встретятся путники?

Идет один человек в другой город и проходит в день по 40 верст, а другой человек идет навстречу ему из другого города и в день проходит по 30 верст. Расстояние между городами 770 верст. Через сколько дней путники встретятся? (11 дней.)

Задача 7. Какова цена сукна?

Некто купил 64 рулона сукна. Из них 20 рулонов белого сукна, 13 рулонов черного, 19 зеленого, 7 лазоревого и уплатил за них 486 рублей. Цена же их была неравная: за черный рулон он платил на 4 рубля больше, чем за белый, за красный – на 3 рубля меньше, чем за черный, за зеленый на 2 рубля меньше, чем за красный, а за лазоревый на 1 рубль больше, чем за зеленый. Сколько денег он уплатил за каждый рулон?

(По 6 р. – зеленое, по 7 р. – белое и лазоревое,
по 8 р. – красное, по 11 р. – черное сукно.)

 

 

ВОПРОС

Юноша некий пошел с Москвы к Вологде и идет на всякий день по 40 верст. А другой пошел после его на следующий день, а на всякий день идет по 45 верст. Во сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти. (Математические рукописи XVII в.)

За 7 дней.

За 6 дней.

За 8 дней.