Составные типовые задачи с тройкой пропорциональных величин

Тема 5. СТАНДАРТНЫЕ И НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ С ТРОЙКОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ВЕЛИЧИН

Составные типовые задачи с тройкой пропорциональных величин.

Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения. В задачах на тройку пропорционально связанных величин описываются процессы, которые характеризуются основными величинами:

- процесс купли-продажи – цена, количество, стоимость;

- процесс взвешивания – масса 1 предмета, количество, общая масса;

- процесс работы – производительность, время работы, вся работа;

- процесс движения – скорость, время, расстояние и др.

Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Сначала связи между тремя величинами рассматриваются на простых задачах, затем – составных.

Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Научить детей решать задачи – значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбрать, а затем и выполнить арифметические действия.

Этапыобучения решению составных задач можно отразить в следующей структуре:

- подготовительный (решение простых задач с недостающими данными; решение пар простых задач; постановка вопроса к данному условию; выработка умений решать простые задачи, входящие в составную);

- ознакомительный (решение задач стандартных типовых и нетиповых, а также нестандартных);

- закрепление ( выполнениезаданий на решение и преобразование задач).

А Методика обучения решению составных задач на нахождение четвертого пропорционального

В задачах этого вида даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Использую любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составит шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.

Ознакомление с рядом величин (длина отрезка, масса, емкость, время, площадь) ведется в непосредственной связи с изучением арифметического и геометрического материала. Для введения задач на нахождение четвертого пропорционального необходимо ознакомить детей и с такими величинами, как цена, стоимость, скорость и др. Причем ознакомление с ними должно вестись одновременно с раскрытием связей между пропорциональными величинами. Например, при ознакомлении с величинами цена, количество, стоимость и связями между ними можно провести на уроке игру в «магазин»: на доску прикрепляют «товары»: тетради, блокноты, линейки и т.п., на которых обозначена цена.

Для закрепления знания связей между величинами надо включать простые задачи для устного решения, при этом полезно выполнять упражнения на составление и решение обратных задач по отношению к данной простой задаче. Кроме того, для письменного решения следует предлагать составные нетиповые задачи с теми же величинами, например: «К началу учебного года ученик купил 10 тетрадей по 2 руб. и тетрадь для рисования за 8 руб. Сколько всего денег уплатил ученик?». В этих случаях не следует требовать от учеников каждый раз объяснять выбор действия.

Первые из рассматриваемых задач на нахождение 4-го пропорционального полезно иллюстрировать рисунком и выполнить модель – таблицу. Например, предлагается задача: «Ученик купил по одинаковой цене 6 конвертов без марок и три с марками. За конверты без марок с он заплатил 180 руб. Сколько он уплатил за конверты с марками?» после чтения учитель выполняет на доске рисунок или пользуется готовым.

Затем под руководством учителя составляется модель – таблица:

Цена	Количество	Стоимость
Одинаковая	6 конвертов 3 конверта	18 руб. ?

 

При повторении задачи дети объясняют, что показывает каждое число: 6 – это количество конвертов с марками, 180 руб. – это стоимость и т. п.

Полезно до решения задачи сделать прикидку, т.е. установить, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел, и объяснить почему. Например, учащиеся устанавливают, что конверты с маркой будут стоить меньше, чем 180 руб., потому что их купили меньше, чем конвертов без марок, а цена конвертов одинаковая.

Сначала по известной стоимости и количеству находим цену конвертов, а затем – по цене и количеству находим неизвестную стоимость.

Можно рассуждать и так: конвертов с марками купили в 2 раза меньше, значит и заплатили в 2 раза меньше, ведь конверты покупали по одинаковой цене. 180:2= 90 (руб.).

Итак, задачи на четвертое пропорциональное – задачи, в которых даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Эти задачи решаются способом нахождения значения постоянной величины.

Б. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление

В 4 классе вводятся составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов. Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.

Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.

Работа по ознакомлению с решением задач на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь – деление). Однако сходство задач приводит к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений.

Приведем пару таких задач: 1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую – 5 таких же мешков. Всего за эти две недели привезли 540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю? Сначала находим количество мешков, соответствующих 540 кг, 4+5=9, затем массу одного мешка: 540:9=60 (кг). Теперь находим ответы на вопросы задачи: 60х4=240 (кг) и 60х5=3000(кг).

2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую – 300 кг. Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю. Сначала находим массу крупы, соответствующую 9-ти мешкам: 240+300=540 (кг), 540:9=60 (кг), 240:60=4 (мешк.), 9-4=5 (мешк.)

Составив по задачам таблицы, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем – различие (в первой задаче два последних действия – умножение, а во второй – деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.

Таким образом, задачи на пропорциональное деление - задачи, включающие в себя две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Задачи этого вида решаются и по действиям и с помощью составления выражений.

В. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям

Включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.

По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух видов задач.

Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:

1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?

2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 12 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?

Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат заплатим столько же, сколько и сестра, и еще 12 руб. Отсюда можно заключить, что три тетради стоят 12 руб., значит, можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.

Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.

После подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям.

Брат и сестра покупали тетради. Брат купил 9 тетрадей, а сестра 6. Брат заплатил на 12 рублей больше, чем сестра. Сколько денег уплатил каждый?

Сначала надо определить количество тетрадей, купленных на 12 рублей: 9-6=3 (тетр.), 12:3=4 (руб.), 4х9=36 (руб.), 4х6=24 (руб.)

На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида. По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.

Итак, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.

 

 

ВОПРОС

Является ли типовой задача: «Коля и Маша купили тетради по 3 рубля. Вместе они заплатили 30 рублей. Сколько тетрадей купила Маша, если Коля купил 4 тетради?»

Да.

Нет.