2018-01-08
762
Лабораторная работа №2
Анализ температурного поля пластины в зависимости от ее теплофизических свойств
Преподаватель ________ Е.Б. Истягина
подпись, дата инициалы, фамилия
Студент ФЭ17-01М071625402 _________ А.В. Гурьева
номер группы зачетной книжки подпись, дата инициалы, фамилия
Красноярск 2017
Задание
Дана бесконечная пластина, температура которой везде одинакова и равна 
. Известны теплофизические свойства материалов пластины: температуропроводность a, коэффициент теплопроводности 
. Толщина платины L и время нагрева 
также заданы. В начальный момент времени под воздействием тепловых условий на поверхности 
и 
пластины формируется нестационарные процессы. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени: 
°С; 
; L=м; 
сек; 
; С = 500 Дж/(кг·°С)
Необходимость решения задач нестационарного теплообмена встречается во многих практических ситуациях. При различных процессах обработки материалов и полуфабрикатов требуется, чтобы продукт нагревался или охлаждался во время его производства. Топки нагревательных агрегатов и печи работают циклично, и при этом происходят нестационарные изменения температуры их содержимого и стенок печи. Часто нагревают и охлаждают металлы, чтобы получить требуемые физические свойства, суточные и сезонные изменения температуры претерпевают здания и технологические конструкции. Задача о переносе тепла в неограниченной пластине L с начальным распределением температуры t0 и граничными условиями на левой (х = 0) и правой (х = L) поверхностях пластины описывается следующими уравнениями.
Уравнение теплопроводности имеет вид
(1)
Граничные условия на поверхностях пластины могут быть 1-го рода:
2-го рода:
(2)
или 3-го рода:
Исходными данными являются: толщина пластины L, теплопроводность материала пластины 
, температуропроводность а, коэффициент теплоотдачи α, начальная температура 
; массивы координат 
и моментов времени 
, для которых требуется вычислить температуру, и число интервалов разбиения (N–1) отрезка [0, L].
Дифференциальное уравнение (1) с граничными условиями (2) и начальными (3) однозначно формулирует поставленную задачу. Размерные физические величины, входящие в задачу (1)–(3), можно объединить в безразмерные комплексы, причем так, что число комплексов будет меньше числа величин, входящих в задачу. Это упрощает исследование физических процессов. Кроме того, новые безразмерные переменные отражают влияние не только физических связей в исследуемом процессе. Полученные результаты могут быть обобщены на другие явления, подобные данным. Приведем к безразмерному виду задачу (1)–(3). Это может быть осуществлено различными способами. Воспользуемся широко известным, вследствие своей простоты и наглядности, приемом.
Введем безразмерную температуру 
, где 
- определяющая температура, выбираемая из физических соображений, и 
– безразмерную координату. Тогда (1) запишется в виде
или
где 
- – критерий, или число Фурье. С учетом этого выражения (1) преобразуется к безразмерному виду
(1’)
Аналогично приводят к безразмерному виду краевые условия (2)–(3). Например, для граничных условий 3-го рода имеем
или
(2’)
где 
- критерий Био
Начальное условие представляется в виде равенства:
(3’)
Таким образом, краевая задача (1)–(3)сводится к виду ()–(), и решение последней осуществляется относительно неизвестной переменной θ при двух независимых: X и 
.
Метод конечных разностей
При решении дифференциальных уравнений в частных производных наиболее часто используется метод конечных разностей. Вместо производных в дифференциальном уравнении используется их конечно- разностная аппроксимация. При этом твердое тело представляется в виде совокупности узлов. Заменяя частные производные конечными разностями, получают систему линейных алгебраических уравнений для определения температуры в каждом узле выбранной сетки. Полученная система замыкается разностным представлением граничных условий и решается численным методом относительно неизвестной функции.
