Лекция 4. Элементы математической логики

Логика в информатике — это направления исследований и отраслей знания, где логика применяется в информатике и искусственном интеллекте. Логика очень эффективна в этих областях.

Алгебра логики (алгебра высказываний) — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Чаще всего предполагается, что высказывания могут быть только истинными или ложными (т.н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например,троичной логики, когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено»).

Логика высказываний послужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется в битовую логику: истинность высказывания обозначается одним битом (0— ЛОЖЬ, 1— ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; &— умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или— XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

Историческая справка. Начало исследований в области формальной логики было положено греческим философом Аристотелем, который жил в 384-322 гг. до н.э. Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной логикой. Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Однако развитие математики, в которой широко используются логические построения, стимулировала и совершенствование формальной логики Аристотеля. Впервые перевести логику на язык математики предложил немецкий математик Г. Лейбниц в конце ХVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть определены правилами, и это позволит всякие рассуждения заменить вычислениями.

Эту идею впервые реализовал английский математик Дж. Буль (1815 – 1864г.). Буль создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки – математической логики.

Задачей логики является изучение правильных способов рассуждений – таких способов рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные посылки.

С помощью этой «грамматики» мы можем проверить правильность наших рассуждений. У логики много и других задач. Логика нужна, например, при анализе смысла отдельных утверждений, получении вывода. Ведь каждая мысль выражается с помощью соответствующего предложения – соответствующего высказывания. Высказывание – это повествовательное предложение, которому можно поставить в соответствие одно из двух значений –истина или ложь.