Погрешность измерения величин. Лабораторная работа №2. Определение погрешности функции

Лабораторная работа №2. Определение погрешности функции.

Цель работы: научиться определять погрешности функций в среде MatLab.

Теоретическая часть

Погрешность измерения величин

Решение прикладной задачи подразумевает использование современного программного обеспечения, которое подразумевает некоторую погрешность решения, которая может быть вызвана:

-используемым численным методом решения задачи;

- математической моделью, используемой для отображения значимых свойств объекта исследования;

- алгоритмами, заложенными в ядро программы;

- погрешности округления рациональных чисел;

- источником данных для обработки.

Все указанные виды погрешностей оказывают влияние на точность конечного решения. В некоторых областях данные погрешности не оказывают какого-либо значительного влияния. Однако, во многих систем требуется максимально достоверное (точное) решение. Изменение параметров на малые отклонения в подобных системах вызывает значительный отклик системы, что может привести к нежелательным последствиям в ситуации, когда в регулируемые параметры заносится погрешность выше допустимой.

 

Абсолютная погрешность приближенного числа – модуль разности приближенного и точного значения величины.

где - приближённое значение числа;

x –точное значениечисла.

Относительная погрешностьприближённого числа - отношение абсолютной погрешности приближённого числа к модулю точного значения числа:

Допустим, что в университете обучается 22537 студентов (x=22537). В одном отчете о результатах деятельности университета ректор озвучил округленное значение 22500 студентов ( =22500), а в другом 22000 ( =22000). Определим абсолютную и относительную погрешности данных округлений:

1. .

, что составляет 0,16%.

2. .

, что составляет 2,38%.

Как видно из примера, во втором отчете ректор допустил относительную погрешность большую почти в 15 раз.

 

Значащие цифры числа - все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева. Примером, значащих цифр приближенного числа могут выступать (значащие цифры подчеркнуты): и .

Верная значащая цифра приближенного числа (в широком смысле) - если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре , s – десятичная степень .

Верная значащая цифра приближенного числа (в узком смысле) - если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы половины единицы s-го разряда, соответствующего этой цифре .

Сомнительные значащие цифры приближенного числа - это цифры, стоящие после верных значащих цифр.

Допустим имеется =0,026183 и =0,2*10^-4, тогда имеем три верные значащие цифры .

Количество верных значащий цифр связывают с величиной относительной погрешности числа. Если приближенное число содержит N верных значащих цифр, то для относительной погрешности имеет место соотношение , что в свою очередь упрощает оценку точности приближенного значения. Например, если дано число =7,523 и сказано, что в его записи оставлены только верные цифры, то относительная погрешность этого числа .

Экспериментальные исследования могут предполагать наличие косвенных методов получения искомой величины. Примером подобного решения может выступать процедура определения плотности объекта, зависящей от массы и объема объекта. Таким образом, вносятся погрешности в методах измерения массы и плотности объекта. Отсюда вытекают следующие правила определения обобщенной погрешности величин:

1. Абсолютная погрешность суммы двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых: .

2. Абсолютная погрешность разности двух независимых величин равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого: .

3. Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.

4. Относительная погрешность произведения и частного приближённо равна сумме относительных погрешностей отдельных сомножителей: и .

5. Абсолютную и относительную погрешности обычно записывают в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры.

6. При округлении погрешностей округление всегда производится в большую сторону.

Пример. Определить, какое равенство точнее: .

Найдем значения данных выражений с большим числом десятичных знаков. Для этого выполним следующие действия:

format long% длинное представление числа (15 знаков)

x1=9/11; % x1=0.81818181818182

x2=sqrt(18); % x2=4.24264068711928

% приближенные

xp1=0.818;

xp2=4.24;

% Абсолютные погрешности

ap1=abs(a1-xp1); %ap1=1.818181818182829e-004

ap2=abs(a2-xp2); % ap2=0.00264068711928

% Округление абсолютных погрешностей

Oap1=0.00019;

Oap2=0.0027;

% Относительные погрешности

ep1=Oap1/xp1; %ep1=2.322738386308069e-004

ep2=Oap2/xp2; % ep2=6.367924528301887e-004

 

Таким образом,

Следовательно , а значит и равенство 9/11 является более точным.

 

Пример. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки: .

Для решения задачи необходимо определить абсолютную погрешность исходя из неравенства , где s – разряд определяемой цифры числа.

Тогда с учетом получаем .

(1) - верно;

(2) - верно;

(3) - верно;

(4) - не верно =>4 цифра является сомнительной.

В данном числе верными являются три цифры, поэтому округляем его, сохраняя эти цифры: .

x=2.3544;

ex=0.002;

s=4;

px=x*ex; % px=0.0047

i=0;

j=1;

while px<=(0.5*10^i)

i=i-1;

j=j+1; % в конце цикла соответствует номеру сомнительной цифры

end;

 

Пример. Вычислить и определить погрешности результата , где n =3,0567(±0,0001), m =5,72(±0,02).

Подсчитаем каждый множитель отдельно:

Тогда

Ответ:

Выполнение работы

В ходе выполнения задания необходимо:

1. Определить, какое равенство точнее.

2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив верные знаки.

3. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности чисел, если они имеют только верные цифры.

4. Вычислить и определить погрешности результата.

№ варианта	Задание