Согласно гипотезе Томаса Мальтуса

Лабораторная работа № 19

Анализ роста численности населения

согласно гипотезе Томаса Мальтуса

Томас Роберт Мальтус (1766 – 1834) – английский учёный – экономист в 1798 году опубликовал книгу EssayonthePrincipleofPopulation, которая на русском языке была издана в 1856 году [2].

Книга посвящена анализу роста численности населения и социальным и экономическим последствиям, к которым приводит указанный рост.

Выводы, сделанные Мальтусом в результате этого анализа, сводятся к следующим положениям.

1. Если размножение человеческого рода не встречает препятствий, то оно удваивается через каждые двадцать пять лет и возрастает в геометрической прогрессии.

2. Средства существования, при самых благоприятных условиях труда никогда не могут возрастать быстрее, чем в арифметической прогрессии.

3. Закон периодического возрастания населения в такой мере превышает закон возрастания средств существования, а для сохранения равновесия между указанными законами возрастания необходимо, чтобы рост населения постоянно задерживался каким-либо высшим законом.

Для определения вероятного периода удвоения населения Мальтус воспользовался сведениями о том, что население некоторых не европейских стран удвоилось в течении 10, 12 и 15 лет и сопоставил эти сведения с выводами Франклина о том, что живые существа размножаются в геометрической прогрессии. Кроме того, Мальтус воспользовался вычислениями Эйлера относительно того, каким периодам удвоения соответствуют различные годичные приросты населения, при условии возрастания населения в геометрической прогрессии. Затем, воспользовавшись обнародованными сведениями о том, что население Североамериканских штатов удвоилось в течение двадцатипятилетнего периода, Мальтус принял этот период, как вероятный и применимый для всякой страны, находящейся в благоприятных для размножения условиях, и подкрепил свой вывод указанием на возможность и более коротких периодов удвоения.

Противники этих заключений Мальтуса считали их ошибочными, так как прирост населения зависит от трёх факторов – рождений, притока населения за счёт переселений и убыли вследствие смерти или переселений. Взаимодействие этих трёх факторов является причиной того, что в стране с высокой ежегодной рождаемостью может не обнаружиться значительного прироста населения, вследствие одновременной необычной его убыли и, наоборот, возможен значительный прирост за счёт въезда в данную страну жителей других стран.

Именно отмеченное ранее удвоение населения в Североамериканских штатах пришлось на период громадных переселений в них из Европы, а также отчасти вследствие возрастного состава переселенцев.

Редакторы русского перевода анализируемой книги Мальтуса – Щепкин М и Вернер И. в своём предисловии к указанной книге произвели подробный анализ мнений сторонников и противников теории Мальтуса. В частности, для того чтобы опровергнуть утверждение Мальтуса относительно двадцатипятилетнего периода удвоения населения, они в своём предисловии привели статистические данные по росту численности населения в ряде стран Европы (см. табл. 1) на период 1800 – 1880 г.г.

Таблица 1.

n	год	Англия	Швеция	Норвегия	Дания	Франция	Италия
млн. чел.	млн. чел.	млн. чел.	млн. чел.	млн. чел.	млн. чел.







						-
						-

Действительно, из данных таблицы 1 совсем не следует двадцатипятилетний период удвоения населения в перечисленных там странах Европы, но он возможен в какой-либо стране. Приведённые выше доказательства Мальтуса о том, что прирост численности населения соответствует геометрической прогрессии нельзя признать корректными, так как Мальтус оперирует с абсолютными числами по численности населения, а любая числовая последовательность, в том числе и геометрическая, оперирует с отвлечёнными числами. Поэтому утверждение Мальтуса о росте численности населения согласно геометрической прогрессии следует признать в качестве гипотезы.

Действительно, перечень отвлечённых чисел вида:

a, aq, aq², aq³, … (1)

называют геометрической прогрессией. При этом a называется первым членом прогрессии, а q – её знаменателем.

На n -ом месте в последовательности (1) должно стоять выражение aqⁿ^-1, которое называется общим членом прогрессии.

Полагая в формуле общего члена прогрессии n = 1, 2, 3, …, записываем и вычисляем любой член прогрессии. Одним из примеров геометрической прогрессии может быть последовательность чисел: 6, 12, 24, 48, …

Члены геометрической прогрессии, то есть отвлечённые числа, представленные в форме (1), обладают тем свойством, что

a_n = aqⁿ^-1, n = 1, 2, 3, … (2)

Кроме того, последующий член прогрессии выражается через предыдущий следующим образом

a_n₊₁ = qa_n, n = 1, 2, 3 … (3)

Чтобы данные таблицы 1 сопоставить с членами геометрической прогрессии в форме (1), необходимо абсолютные значения численности населения свести к отвлечёнными числам. Для этого выберем так называемые характерные численности населения как численности каждой страны, относящиеся к 1800 году. Затем каждое из чисел, расположенных в одном из столбцов таблицы 1 разделим на характерное число для этого столбца, т.е. на число, стоящее в первой строке этого столбца.

Указанную характерную численность обозначим через a₀, в качестве которой согласно данным таблицы 1 принято для:

- Англии a₀ = 16237;

- Швеции a₀ = 2347;

- Норвегии a₀ = 883;

- Дании a₀ = 925;

- Франции a₀ = 27349;

- Италии a₀ = 17237.

Перейдём к реализации описанного выше алгоритма, для чего напишем программу на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

1. Включение компьютера и вход в систему. Результат выполнения представлен на рисунке 1.

Рис. 1.

2. Запуск программы MicrosoftExcel.

Параметры: - рабочий стол. Результат выполнения представлен на рисунке 2.

Рис. 2.

3. Выбор активного листа.

Параметры: - лист: «Лист1». Результат выполнения представлен на рисунке 3.

Рис. 3.

4. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: A1;- данные: «n». Результат выполнения частично представлен на рисунке 4. Рис. 4.

5. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: B1;- данные: «Англия». Результат выполнения частично представлен на рисунке 5. Рис. 5.

6. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: C1;- данные: «Швеция». Результат выполнения частично представлен на рисунке 6. Рис. 6.

7. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: D1;- данные: «Норвегия». Результат выполнения частично представлен на рисунке 7. Рис. 7.

8. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: E1;- данные: «Дания». Результат выполнения частично представлен на рисунке 8. Рис. 8.

9. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: F1;- данные: «Франция». Результат выполнения частично представлен на рисунке 9. Рис. 9.

10. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: G1;- данные: «Италия». Результат выполнения частично представлен на рисунке 10.

Рис. 10.

11. Автозаполнение - нумерация.

Параметры:- ячейка 1: « A2 »;- ячейка 2: « A3 »;

- конечная ячейка: «A10»; - данные 1: «1»;

- данные 2: «2»;Результат выполнения частично представлен на рисунке 11. Рис. 11.

12. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: H1;- данные: «Год». Результат выполнения частично представлен на рисунке 12. Рис. 12.

13. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: B2-B10; - данные: «Таблица1:СтолбецАнглия».Результат выполнения частично представлен на рисунке 13. Рис. 13.

14. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: С2-С10; - данные: «Таблица1:Столбец Швеция».Результат выполнения частично представлен на рисунке 14. Рис. 14.

15. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: D2-D10; - данные: «Таблица1:СтолбецНорвегия».Результат выполнения частично представлен на рисунке 15. Рис. 15.

16. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: E2-E10; - данные: «Таблица1:СтолбецДания».Результат выполнения частично представлен на рисунке 16. Рис. 16.

17. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: F2-F7; - данные: «Таблица1:СтолбецФранция».Результат выполнения частично представлен на рисунке 17. Рис. 17.

18. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: G2-G10; - данные: «Таблица1:СтолбецИталия».Результат выполнения частично представлен на рисунке 18. Рис. 18.

19. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: G2-G10; - данные: «Таблица1:СтолбецИталия».Результат выполнения частично представлен на рисунке 19.

Рис. 19.

20. Активизация диапазона ячеек.

Параметры: - диапазон ячеек: «H1÷G1». Результат выполнения представлен в таблице на рисунке 20.

Рис. 20.

21. Копирование в буфер обмена.

Параметры: - ячейка-цель: « A12 ». Результат выполненияпредставлен на рисунке 21.

Рис. 21.

22. Автозаполнение - нумерация.

Параметры:- ячейка 1: « A13 »;- ячейка 2: « A14 »;

- конечная ячейка: «A21»; - данные 1: «1»;

- данные 2: «2»;Результат выполнения частично представлен на рисунке 22. Рис. 22.

23. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: B13; - данные: «=B2/B$2». Результат выполнения представлен на рисунке 23. Рис. 23.

24. Автозаполнение.

Параметры: - начальная ячейка: B13; - конечная ячейка: B21. Результат выполнения частично представлен на рисунке 24.

Рис. 24.

25. Автозаполнение.

Параметры: - начальная ячейка: B13; - конечная ячейка: G13. Результат выполнения частично представлен на рисунке 25.

Рис. 25.

26. Автозаполнение.

Параметры: - начальный диапазонячеек: B13-G13; - конечная ячейка: G21. Результат выполнения частично представлен на рисунке 26.

Рис. 26.

Полученные таким образом отвлечённые численности населения рассматриваемых стран представлены в таблице 2.

Таблица 2.

n Англия Швеция Норвегия Дания Франция Италия

1,139927 1,013208 1,018120 1,069189 1,064280 1,066368

1,310094 1,101406 1,107587 1,172972 1,127097 1,072866

1,502247 1,230507 1,280860 1,297297 1,204797 1,230608

1,666440 1,337452 1,411098 1,387027 1,260923 1,330625

1,708813 1,483596 1,585503 1,522162 1,320450 1,388234

1,805813 1,644652 1,812004 1,738378 1,376832 1,451354

1,961261 1,775884 1,972819 1,929729 - 1,554852

2,170413 1,945462 2,167610 2,128648 - 1,651099

В таблице 1 годы, фиксирующие определённую численность, пронумерованы числами натурального ряда. Указанная нумерация перенесена и в таблицу 2. В результате чего все числа таблицы 2 пронумерованы по строкам и столбцам, а каждый столбец отвлечённых численностей может представлять набор элементов a_n числовой последовательности.

Набор чисел a_n в зависимости от номера n в рамках каждого столбца может представлять некоторую функциональную зависимость как закон роста численности населения для той или иной страны, указанной в таблице 2.

Предположим, что набор чисел a_n из таблицы 2 применительно к каждой из стран представляет геометрическую прогрессию. Тогда в соответствии с формулой (3) знаменатель q прогрессии для каждой страны будет определяться так:

n = 1, 2, 3 … (4)

Перейдём к реализации описанного выше алгоритма, для чего напишем программу на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

27. Активизация диапазона ячеек.

Параметры: - диапазон ячеек: «A23÷G23». Результат выполнения представлен в таблице на рисунке 27.

Рис. 27.

28. Объединение ячеек.

Параметры: - диапазон ячеек: «A23÷G23». Результат выполнения представлен в таблице на рисунке 28.

Рис. 28.

29. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: A23÷G23;- данные: «Англия». Результат выполнения частично представлен на рисунке 29.

Рис. 29.

30. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: A24;- данные: «n». Результат выполнения частично представлен на рисунке 30.

Рис. 30.

31. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: B24;- данные: «a_n». Результат выполнения частично представлен на рисунке 31. Рис. 31.

32. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: C24;- данные: «q по (4)». Результат выполнения частично представлен на рисунке 32. Рис. 32.

33. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: D24;- данные: «a_n по (5)». Результат выполнения частично представлен на рисунке 33. Рис. 33.

34. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: E24;- данные: «числен. по (6)». Результат выполнения частично представлен на рисунке 34. Рис. 34.

35. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: F24;- данные: «числен. факт.». Результат выполнения частично представлен на рисунке 35. Рис. 35.

36. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: G24;- данные: «%». Результат выполнения частично представлен на рисунке 36.

Рис. 36.

37. Автозаполнение - нумерация.

Параметры:- ячейка 1: « A25 »;- ячейка 2: « A26 »;

- конечная ячейка: «A33»; - данные 1: «1»;

- данные 2: «2»;Результат выполнения частично представлен на рисунке 37. Рис. 37.

38. Активизация диапазона ячеек.

Параметры: - диапазон ячеек: «B13÷B21». Результат выполнения представлен в таблице на рисунке 38. Рис. 38.

39. Копирование в буфер обмена.

Параметры: - ячейка-цель: « A25 ». Результат выполненияпредставлен на рисунке 39.

Рис. 39.

40. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: C25; - данные: «=B26/B25». Результат выполнения представлен на рисунке 40. Рис. 40.

41. Автозаполнение.

Параметры: - начальнаяячейка: C25; - конечная ячейка: C32. Результат выполнения частично представлен на рисунке 41. Рис. 41.

42. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: C25; - данные: «=СРЗНАЧ(C25:C32)». Результат выполнения представлен на рисунке 42.

Рис. 42.

Таким образом, в ячейке C33 получилось среднее значение знаменателя q прогрессии для Англии, рассчитанное по формуле (4). Аналогичным образом произведите расчет средних знаменателей прогрессии для остальных стран, рассматриваемых в рамках данной работы: Швеции, Норвегии, Дании, Франции и Италии. Результаты расчетов приведены на рисунках 43 – 47.

Рис. 43.

Рис. 44.

Рис. 45.

Рис. 46.

Рис. 47.

Числовые значения q_ср для рассмотренных стран оказались близки, например, для Англии и Норвегии числа q_ср совпадают до третьего знака после запятой.

Интересно заметить, что анализ по такой же методике фактических данных по численности населения в Германии на период от 1850 г. до 1900 г. привёл к значению q_ср =1,093. [1]

В пределах каждого третьего столбца таблиц 5 – 8 просматривается близость значений q_ср от тех, которые получаются расчётом по формуле (4). Это позволяет выставить гипотезу, что числовые последовательности a_n из таблиц 3 – 8 суть геометрические прогрессии с постоянным знаменателем q_ср, который для каждой страны может быть различным.

Для указанных последовательностей a_n первые их члены равны единице, поэтому формулу (2) можно переписать так:

n = 1, 2, 3 … (5)

Произведём расчеты по формуле (5), для чего напишем программу на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

43. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: D25; - данные: «=C$33^(A25-1)». Результат выполнения представлен на рисунке 48.

Рис. 48.

44. Автозаполнение.

Параметры: - начальнаяячейка: D25; - конечная ячейка: D33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 49.

Рис. 49.

Аналогичным образом произведите расчёт по формуле (5) для остальных стран, рассматриваемых в рамках данной работы: Швеции, Норвегии, Дании, Франции и Италии. Результаты расчетов приведены на рисунках 50 – 54.

Рис. 50.

Рис. 51.

Рис. 52.

Рис. 53.

Рис. 54.

Числовые значения результатов расчётов по (5) близки к числовым значениям a_n столбцов рассматриваемых таблиц.

Числовая последовательность (5) может служить подтверждением гипотезы Мальтуса о том, что при отсутствии препятствий рост численности человеческого рода происходит по геометрической прогрессии, знаменатель q_ср которой для разных стран и народов разный. Именно, различные значения q_ср объясняет факт того, что периоды удвоения населения, которыми оперировал Мальтус, различны для разных стран и народов.

Для перехода в (5) от отвлечённых чисел к абсолютным, необходимо каждое значение a_n умножить на характерную численность a₀. Полученные таким образом теоретические значения численностей обозначим как a(n) и для них очевидна формула

(6)

Вычислим теоретические значения численностей населения по (5) и сравним её с фактической численностью населения в рассматриваемых странах. Для этого продолжим написание программы на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

45. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: E25; - данные: «=B$2*D25». Результат выполнения представлен на рисунке 55.

Рис. 55.

46. Автозаполнение.

Параметры: - начальнаяячейка: E25; - конечная ячейка: E33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 56.

Рис. 56.

Аналогичным образом произведите расчёт по формуле (6) для остальных стран, рассматриваемых в рамках данной работы: Швеции, Норвегии, Дании, Франции и Италии. Результаты расчетов приведены на рисунках 57 – 61.

Рис. 57.

Рис. 58.

Рис. 59.

Рис. 60.

Рис. 61.

Для того, чтобы сравнить теоретические значения численности населения в рассматриваемых странах с их фактическими историческими значениями, перенесём фактические значения численностей населения в столбцы, находящиеся радом с теоретическими, в столбцы «числен. факт.». Для этого продолжим написание программы на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

47. Активизация диапазона ячеек.

Параметры: - диапазон ячеек: «H1÷G1». Результат выполнения представлен в таблице на рисунке 62.

Рис. 62.

48. Копирование в буфер обмена.

Параметры: - ячейка-цель: « F25 ». Результат выполненияпредставлен на рисунке 63.

Рис. 63.

Аналогичным образом скопируем значения фактической численности населения остальных стран, рассматриваемых в рамках данной работы: Швеции, Норвегии, Дании, Франции, Италии и поместим их в соответствующие ячейки таблицы Excel, рядом с их теоретическими значениями. Результаты описанных выше действий приведены на рисунках 64 – 68.

Рис. 64.

Рис. 65.

Рис. 66.

Рис. 67.

Рис. 68.

Рассчитаем процент отклонения теоретической численности населения от её фактического исторического значения. Для этого продолжим написание программы на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

48. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: G25; - данные: «=ABS(F25-E25)/F25». Результат выполнения представлен на рисунке 69.

Рис. 69.

49. Автозаполнение.

Параметры: - начальнаяячейка: G25; - конечная ячейка: G33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 70.

Рис. 70.

Аналогичным образомрассчитайте процент отклонения теоретических значений численности населения от фактических для остальных стран, рассматриваемых в рамках данной работы: Швеции, Норвегии, Дании, Франции и Италии. Результаты расчётов приведены на рисунках 71 – 75.

Рис. 71.

Рис. 72.

Рис. 73.

Рис. 74.

Рис. 75.

По многим периодам процент различия незначителен, но есть несколько периодов, где процент различия значителен.

Эти периоды можно принять за периоды, в которых нормальный рост численности нарушен внешними факторами, о которых отмечалось ранее. Для учёта такого рода факторов в [1] рассматривалась геометрическая прогрессия с переменным знаменателем.

Формула (3) определяет последующий член прогрессии через предыдущий только для дискретных значений n, что снижает её информативность в приложениях. Для устранения такого её недостатка представим соотношение (3) так:

(7)

где дополнительно обозначено k = q – 1. Далее разделим левую часть в (7) на величину Δn и рассмотрим соотношение

(8)

Если числа n изменяются дискретно так, что Δn=1, тогда соотношения (8) и (7) тождественны. Теперь от дискретных чисел n перейдём к непрерывным и рассмотрим предел в левой части (8). Если такой предел существует, то его называют производной от функции , то есть

(9)

В соотношении (9) заменим дифференциал dn на дифференциал dt, где через t обозначено время.

Тогда (8) с учётом (9) перейдёт в обыкновенное дифференциальное уравнение следующего вида

(10)

которое при k, зависящем от , будет нелинейным.

Указанный переход от дискретной числовой последовательности (3) к дифференциальному уравнению (10) впервые выполнен в [1]. Преимущество такого перехода заключается в том, что с помощью такого уравнения (10) можно восстановить численности населения в годы, которые не представлены в таблице 1.

Действительно, при k = const уравнение (10) имеет интеграл, равный

где c – произвольная постоянная величина. Для её определения воспользуемся условием: при t = 1, что соответствует n = 1, = 1. Это условие позволяет интеграл уравнения (10) представить так:

(11)

Например для Англии знаменатель геометрической прогрессии q_ср =1,102511, тогда k = 0,102511. В этом случае уравнение (11) будет определять прирост численности населения, согласно следующей формуле

В [1] величина k = q – 1 названа относительным знаменателем прогрессии и там же приведены примеры, когда k зависит от .

Таким образом, в определённых социально – экономических условиях рост численности населения может подчиняться геометрической прогрессии с постоянным знаменателем прогрессии, числовые значения которого могут различаться для отдельных стран.