Початкові відомості про фрактали

B синергетиці була вперше обґрунтована властивість фрактальності об'єктів світу. Термін «фрактал» споконвічно ставився до чистої математики й був запропонований Б. Мандельбротом для позначення нерегулярних, але самоподібних структур. Одне з визначень фрактала, дане Мандельбротом, звучить у такий спосіб: «фракталом називається структура, що складається із частин, які в якімсь змісті подібні до цілого».

Математичний апарат, побудований на основі подань про фрактали і фрактальні множини, дозволяє пояснити або навіть пророчити експериментально спостережувані факти і явища в різних галузях науки (космологія, теорія турбулентності, хімічна кінетика, фізика полімерів). Можливості такого інструмента моделювання складних систем використаються для аналізу процесів у соціально-економічній сфері, зокрема, у дослідженнях поводження різних ринків.

Фракталами називають такі об'єкти, які мають властивість самоподоби, або, як ще говорять, масштабною інваріантістю. Це означає, що малий фрагмент структури такого об'єкта подібний іншому, більшому фрагменту або навіть структурі в цілому, «який людина, такий і соціум», тобто частина зберігає властивості цілого. Виходячи з даного твердження, можна зробити висновок, що рішення всіх соціально-економічних проблем перебуває в самій людині (у її світогляді, ідеалах, нормах поводження, традиціях і т.д.).

Фрактальними є процеси зі зворотним зв'язком, у яких вихідні характеристики функціонально пов'язані із вхідними, причому цей зв'язок є нелінійним. Такі процеси спостерігаються в системах зовсім різної природи, що функціонують на принципах відносин «ресурс-споживач».

Фрактальная природа соціуму обумовлена дискретним розподілом у просторі, як генераторів нових ідей, так і їхніх провідників і споживачів, так і джерел сировини, підприємств по його переробці, так і ринків реалізації продукції. Взаємодія цих дискретно розташованих інгредієнтів «реакції», проте, можливо й приводить до фрактальної просторової картини процесу, часовий зріз якого демонструє нам складний квазипериодичний характер.

Теорія фракталів — найбільш адекватна системній природі соціальних і економічних процесів, що протікають в умовах нелінійної динаміки безлічі факторів зовнішнього й внутрішнього середовища. Прийняття гіпотези про фрактальній природі суспільства відразу ж накладає певні обмеження на методи його аналізу. Якщо ми хочемо враховувати просторову складову соціальних процесів, то метод їхнього математичного аналізу повинен докорінно змінитися. B силу цього соціум можна розглядати як протяжний просторово-тимчасовий фрактал, де основним носієм активності («пальним матеріалом» середовища) є свідомість людини.

Із усього, що є в сучасних методах аналізу, фрактал як математичний об'єкт найбільш добре пристосований для відбиття явищ, пов'язаних з розвитком і самоорганізацією. Тому при використанні фрактальных подань можна чекати просування в створенні адекватних математичних моделей соціально-економічних систем. B загальних рисах можна прогнозувати створення таких моделей щодо різних аспектів і явищ соціально-економічної системи.

Фрактальність — це міра неправильності, фрактал — основна структура як для опису ринку, так і для опису поводження окремих трейдерів.

Фрактальність і цикли — дві сторони однієї «медалі». Просторове відображення процесів має риси фрактальності, тимчасове відображення динаміки фракталів сприймаються як цикли. Або інакше - при реалізації в просторі цикли мають фрактальний вид, а фрактали в часі - хвильовий.

З огляду на дані різних наук, можна припускати, що фрактальність у своїх проявах «нерівномірна» і не безмежна - у процесі фрактального росту структур повинні бути присутніми критичні рівні. B свою чергу, у циклічних проявах повинні бути виявлені критичні періоди, на циклічних реалізаціях позначаються конкретні умови, тому характер, довжина хвиль і т.п. будуть досить мінливі. Реалізація феноменів фрактальності й циклічності здійснюється через конкретні матеріальні носії у взаємодії з конкретним середовищем. Тому випадків фіксації «ідеальних» фракталів і циклів завжди буде небагато. У всіх випадках позначаються фактори передісторії (системної пам'яті різного рівня), ефекти положення (сусідства), віку й т.п. B ряді випадків особливе значення буде мати характерний час реагування об'єктів на зміни факторів середовища.

Поняття «фрактал» нерозривно пов'язане з поняттям хаос. Хаос — це відсутність передбачуваності. Хаос виникає в динамічних системах, коли для двох дуже близьких початкових значень система поводиться зовсім по-різному.

Фрактали визначають структуру хаосу. Фрактали, власне кажучи, є новою мовою, що дає опис форм хаосу, вони дозволяють аналізувати тонку структуру хаосу й навіть виявити в ньому прояв порядку. Тонка структура фрактала може бути наслідком і причиною складного хаотичного поводження.

Hа фазовій площини такому поводженню відповідає замкнута крива, називана аттрактором (від англійського дієслова to attract - притягати) — безліч траєкторій, що характеризують сталий процес. B випадку нелінійного маятника можуть виникнути складні, неперіодичні коливання, коли траєкторія на фазовій площині не замкне за як завгодно довгий час. При цьому поводження детермінованої системи буде зовні нагадувати зовсім випадковий процес — це і є явище динамічного або детермінованого хаосу. Образ хаосу у фазовому просторі — хаотичний аттрактор — має дуже складну структуру: це фрактал. B силу незвичайності властивостей його називають також дивним аттрактором.

Структура визначає поводження. Фрагментарна, фрактальна природа щоденної реальності залишається за межами нашої свідомості. Щоб використати мислення для сортування явищ і навчитися розуміти зміст що відбувається, ми повинні, насамперед, знайти основну структуру реальності. Структуру, що розкриває порядок, що лежить в основі хаосу.

Існує чотири нелінійні функції, які допомагають нам визначити цей порядок у нашій власній свідомості. Учені, що досліджують хаос, виявили, що гадані хаотичними, що не підкоряються ніяким законам процеси, у дійсності, додержуються схованого порядку. Порядок, що вони відкрили, чотириразовий: всі зовнішні явища діють відповідно до того, що вони називають чотирма аттракторами — силами, які витягають порядок з безладдя. Вони називаються крапковим аттрактором, циклічним аттрактором, аттрактором mopac і дивним аттрактором. Ці чотири аттрактора формують основну структуру зовнішнього світу, характер поводження й руху ринку.

Крапковий аттрактор — це найпростіший спосіб внести порядок у хаос. Це єдиний стан, до якого прагне система в загальному випадку при нескінченному часі.

Характеристика циклічного аттрактора — рух взад-вперед, подібно маятнику або циклічному магніту. Він притягає, потім відштовхує, потім знову притягає й т.д. Такого роду аттрактор характеризує, наприклад, ринок, укладений у коридорі, де ціна рухається нагору й униз у певному діапазоні протягом деякого проміжку часу. Цей аттрактор більш складний, ніж крапковий аттрактор і є основною структурою для більш складного поводження. Одна діяльність автоматично веде до іншої в повторюваному порядку. B природі його можна спостерігати на ряді прикладів, наприклад, у системах «хижак — видобуток», де розмір популяції відповідних хижаків або їхніх жертв збільшується й зменшується у зворотному співвідношенні. Hа ринку зерна це явище носить річний характер. Один рік, для якого були характерні високі ціни, породжує збільшення посівних площ наступною весною, що, у свою чергу, приводить до низьких цін. Потім фермери зменшують посівні площі, щоб домогтися більше високих цін.

Третій, більше складний, вид аттрактора відомий як аттрактор mopac. Він починає складну циркуляцію, що повторює себе в міру руху вперед. У порівнянні із циклічним і крапковим аттракторами, аттрактор тopac уводить більший ступінь безладності і його моделі більш складні. Ha цьому рівні, пророкування носять більш точний характер, а моделі мають тенденцію здаватися більш закінченими. Графічно він виглядає як кільце або рогалик. Він утворить спиралевидні кола на ряді різних площин, і іноді повертається сам до себе, завершуючи повний оборот.

Його основна характеристика — це повторювана дія. Він має тенденцію створювати щось начебто безладного гомеостазиса, подібно тому, як популяція комах впливає на популяцію жаб. Подібні явища можна спостерігати в прагненні світових активів до безпеки. Якщо ставка по державних паперах підвищується, вони залучають більше інвесторів. Потім підвищуються ціни на них, що опускає процентну ставку, і робить їх менш привабливими й т.д.

Дивний аттрактор — самоорганізуючий. Це місце народження волі й розуміння, як у дійсності працює ринок. Tе, що поверхневий погляд сприймає як абсолютний хаос, у якому не помітно ніякого порядку, має певний порядок, що базується на дивному аттракторі, коли спостереження ведеться із четвертого виміру.

Характеристикою дивного аттрактора виступає чутливість до початкових умов, що іноді називається «ефект метелика». Найменше відхилення від споконвічних умов може привести до величезних розходжень у результаті.

Для того щоб представити все різноманіття фракталів, зручно вдатися до їхньої загальноприйнятої класифікації.