Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Одержують їх за допомогою нелінійних процесів у n -мірних просторах. Найбільш вивчені двовимірні процеси.

Якщо нелінійна динамічна система володіє декількома стійкими станами, то кожний стійкий стан має деяку область початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у розглянуті кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області притягання аттракторів. Фарбуючи області притягання різними кольорами, можна одержати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна одержати складні фрактальні картини з вигадливими багатобарвними візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури.

B якості приклада розглянемо множину Мандельброта (Рис. 3.3 і 3.4). Алгоритм його побудови досить простий і заснований на простому ітеративному вираженні:

де Z[i] і C — комплексні змінні.

Ітерації виконуються для кожної стартової крапки C прямокутної або квадратної області на комплексній площині.

Ітераційний процес триває доти, поки Z[i] не вийде за межі окружності радіуса 2, центр якої лежить у крапці (0,0), (це буде означати, що аттрактор динамічної системи перебуває в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад, 200 — 500) Z[i] зійдеться до якої-небудь крапки окружності. B залежності від кількості ітерацій, у плині яких Z[i] залишалася усередині окружності, можна встановити кольори крапки C (якщо Z[i] залишається усередині окружності протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється й ця крапка растра офарблюється в чорні кольори).

Описаний алгоритм дає наближення до так називаної множини Мандельброта. Множині Мандельброта належать крапки, які протягом нескінченного числа ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорні кольори). Крапки, що належать границі множини (саме там виникають складні структури), ідуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а крапки, що лежать за межами множини, ідуть у нескінченність через кілька ітерацій (білий фон).

Рис. 3.4. Участок границі множини Мандельброта,

збільшений в 200 разів