Распределение напряжений в массиве

Для вычисления напряжений в массиве грунта применяются уравнения теории упругости (линейно-деформируемого тела). Упругое тело характеризуется тем, что в нем упругие деформации линейно зависят от напряжений и отсутствуют остаточные (пластические) деформации. Для упругого тела справедлив закон Гука:

(3.1)

где - относительные деформации;

- модуль упругости.

Линейно-деформируемое тело формально подчиняется тоже закону Гука, однако, как указывалось во введении, вместо модуля упругости E в нем используется модуль общей деформации E ₀, который учитывает не только упругие, но и остаточные деформации, присущие реальному грунтовому основанию:

. (3.2)

Уравнения механики сплошных сред справедливы для всех случаев, когда: а) напряжения не вызывают появления в грунтах областей пластических деформаций, б) достигнута стабилизация напряжений и вызванных ими деформаций грунта.

В механике грунтов рассматриваются два случая распределения напряжений: 1) от нагрузок, передаваемых через гибкие фундаменты или насыпи; 2) от нагрузок, передаваемых через жесткие фундаменты.

Действие сосредоточенной силы (основная задача). При этом рассмотривается действие сосредоточенной силы Р, приложенной перпендикулярно к ограничивающей полупространство плоскости (рис. 3.1). Полупространство считается однородным в глубину и в стороны и линейно деформируемым.

Задача заключается в определении всех составляющих напряжений σ_z, σ_y, σ_x, τ_zy, τ_zx, τ_xy, а также перемещений w_z, w_y, w_x для любой точки полупространства, имеющей координаты z, x, y или R и β.

Поставленная задача для упругого (следовательно, и любого линейного деформируемого) полупространства впервые была полностью решена проф. Ж. Буссиненском (1885 г.), а определение напряжений для площадок, параллельных ограничивающей полупространство плоскости – проф. В. Кирпичевым и Н.А. Цытовичем (1923 –1934 гг.). Здесь для примера приводится вывод только формулы вертикальных сжимающих напряжений σ_z для площадок, параллельных ограничивающей плоскости, как наиболее часто используемых в расчетной практике. Вывод формул для остальных составляющих напряжений τ_zx, и τ_zx можно найти в специальной литературе.

Для точки М (рис. 3.1), определяемой полярными координатами R и β, находится величина нормального напряжения σ_R, действующего по направлению радиуса R, а затем по формулам перехода – и все составляющие напряжения для площадки, проведенной через точку М, параллельно ограничивающей плоскости.

Для упрощения вывода (окончательный результат которого полностью совпадает с решением Буссинеска) принимается как постулат, что напряжение σ_R пропорционально cos β и обратно пропорционально квадрату расстояния от точки приложения сосредоточенной силы R².

Тогда

(3.3)

где А – некоторый коэффициент, определяемый из условия равновесия.

Рис. 3.1. Схема действия сосредоточенной силы.

Для составления уравнения равновесия проводится полушаровое сечение с центром в точку приложения сосредоточенной силы (рис. 3.2). Величина напряжений, нормальных к полушаровой поверхности, определяется выражением (3.3) и будет изменяться от нуля у ограничивающей плоскости до максимума по оси Z, но для выделенного элементарного шарового пояса с центральным углом dβ может приниматься постоянной.

Условием равновесия является сумма проекций всех сил на вертикальную ось, равная нулю:

(3.4)

где dF - поверхность элементарного шарового пояса, равная:

. Подстановкой выражения для dF и σ_R в уравнение (3.4), находится:

(3.5)

После интегрирования и подстановки пределов, имеем:

(3.6)

откуда находится неизвестный коэффициент пропорциональности А:

(3.7)

Подстановкой формулы (3.7) в формулу (3.3) находится выражение для радиальных напряжений:

(3.8)

Рис. 3.2. Схема радиальных напряжений

при действии сосредоточенной силы.

Из геометрических соотношений можно найти величину радиальных напряжений , отнесенных к площадке, параллельной ограничивающей плоскости и составляющей с ней угол β:

Принимая во внимание, что =z/ R и подставляя значение из выражения (3.8), можно получить

(3.9)

Тогда

или, учитывая (2.9),

(3.10)

Поскольку из геометрических соотношений

то

. (3.11)

Таким образом, для практических расчетов имеем выражение для определения сжимающих напряжений для площадки, параллельной ограничиваюшей плоскости:

, где

(3.12)

Для облегчения расчетов служит таблица 7П значений коэффициентов , применяемых в формуле для вертикальных сжимающих напряжений в массиве грунта, нормальных к площадкам, параллельным ограничивающей полупространство плоскости.

Нагрузки, передаваемые через гибкие фундаменты или насыпи. В этом случае нагрузки следуют деформациям поверхности массива и сжимающие напряжения на поверхности массива равны интенсивности нагрузки.

Как показано выше, в случае сосредоточенных сил, нормальных к поверхности полупространства,вертикальное сжимающие напряжение в точке М от одиночной силы Р (рис. 3.3) вычисляется по формуле Буссинеска (3.11).

Рис. 3.3. Напряжения на площадке, параллельной поверхности полупространства.

При нескольких сосредоточенных нагрузках, если Р₁≠ Р₂ ≠ Р₃≠ … ≠ Р_i ≠ … ≠ Р_n, сжимающее напряжение в любой точке массива для аналогичных площадок может быть найдено простым суммированием:

(3.12 а)

то же при условии Р₁= Р₂ = Р₃= … = Р_i = … = Р_n,

(3.12 б)

Линейная (погонная) равномерно распределенная нагрузка, нормальная к поверхности. Вертикальное сжимающее напряжение в точке М вычисляется по формуле:

(3.13)

Обозначения указаны на рис. 3.4 значения коэффициента приведены в табл. 8П.

Рис. 3.4. Расчетная схема к формуле (3.13).

Нагрузка, равномерно распределенная по гибкой полосе. Вертикальное сжимающее напряжение в точке М вычисляется по формуле:

(3.14)

Рис. 3.5. Расчетная схема к формуле (3.14).

Обозначения указаны на рис 3.5; значения коэффициента К₃ приведены в табл. 9П. Значение угла β₂ принимается со знаком плюс для всех точек М, лежащих вне пределов границ загруженной полосы, и со знаком минус для точек М, лежащих в этих границах.

Для точек, расположенных в осевой плоскости загруженной полосы, где β₁ = β₂ = β, формула (3.14) принимает вид:

(3.15)

На рис. 3.6 показаны линии равных напряжений в линейно деформируемом массиве в случае плоской задачи.

Нагрузка, распределенная по гибкой полосе по закону треугольника. Вертикальное сжимающее напряжение в точке М вычисляется по формуле Цытовича:

(3.16)

Рис. 3.6. Линии равных напряжений в линейно деформируемом массиве в случае плоской задачи: а – изобары σ_z; б - распоры σ_у; в – сдвиги τ_zx.

Обозначения указаны на рис. 3.7, значения коэффициента К₄ приведены в табл. 10П.

Рис. 3.7. Расчетная схема к формуле (3.16).

Любая нагрузка по гибкой полосе, меняющаяся по закону прямой. При любых нагрузках, меняющихся по закону прямой – треугольной трапецеидальной, прерывистой прямоугольной и других, вертикальное сжимающее напряжение может вычисляться по формуле:

(3.17)

где - функция относительных величин ;

а – длина треугольной части эпюры нагрузки;

b – длина прямоугольной части эпюры нагрузки;

s – глубина рассматриваемой точки.

Величина J определяется по графику Остерберга (рис. 1П) как алгебраическая сумма коэффициентов, соответствующих нагрузке слева и справа от вертикали, проходящей через рассматриваемую точку.

Нагрузка, равномерно распределенная по прямоугольной площади. Сжимающее напряжение σ_z в любой точке, лежащей под центром тяжести загруженного прямоугольника, стороны которого равны, может быть вычислено по формуле Лява:

(3.18)

где , остальные обозначения указаны на рис. 3.8.

Значения коэффициента К₅ (в СНИПе он обозначается как α) берут из табл. 11П в зависимости от значения отношений и .

Для вычисления напряжений в любой точке М, расположенной под нагруженным прямоугольником в его пределах или вне его контура, применяется метод угловых точек. Метод основан на том, что напряжение под углом загруженного прямоугольника на глубине z составляет 1/4 от величины напряжения под его центром на глубине z/2. Поэтому для вычисления угловых напряжений можно применить формулу:

(3.19)

Значения коэффициента К₅ можно взять по табл. 11П, а величина m принимается равной , но не как в случае центрально напряжения.

При использовании метода угловых точек любая точка М рассматривается как угловая для четырех сходящихся углами загруженных прямоугольников, а напряжение вычисляется как алгебраическая сумма напряжений от каждого их этих прямоугольников. При этом могут иметь место два принципиальных случая:

1.Точка расположена в контуре загруженного прямоугольника (рис. 3.9 а). В этом случае напряжение в точке М на глубине равно сумме напряжений в этой точке от нагрузки, переданной на отдельные прямоугольники:

σ_z=σ₁^І + σ₂^{І І} + σ₃^{І І І} + σ₄^І^V. (3.20)

2.Точка расположена вне контура загруженного прямоугольника (рис. 3.9 б). В этом случае прямоугольник ABCD достраивают с таким расчетом, чтобы точка М ^* стала угловой (прямоугольник HBEM^’). Вычисление сводятся к определению напряжения от прямоугольника НВЕМ^’ за вычетом напряжений от «фиктивных» (достроенных) прямоугольников AHFM^’ и СЕМ’G.

Для определения напряжений под загруженной площадью любой конфигурации может быть применен метод элементарного суммирования.

Рис. 3.8. Расчетная схема к формуле (3.18).

Рис. 3.9. Расчетные схемы для определения напряжений: а – под центром загруженного прямоугольника; б – в точке, расположенной вне контура загруженного прямоугольника

Для этого загруженную площадь делят на элементы, а распределенную нагрузку на каждый элемент заменяют сосредоточенным элементарными нагрузками, что позволяет использовать при расчете формулы для сосредоточенной нагрузки.

Сжимающее напряжение в точке М на глубине z можно определить согласно выражению:

, (3.21)

где n – число элементов, на которые разделена загруженная площадь.

Влияние на распределение напряжений анизотропии полупространства. Многие типы глинистых и песчаных грунтов характеризуются анизотропией свойств. Проявлением анизотропии является неравенство модулей деформации, вычисленных по вертикальному Е_z и горизонтальному E_r направлениям. В неясно слоистых грунтах отношение обычно не превышает 1,2 – 1,5; в отчетливо слоистых оно может достигать 2 – 2,5.

Вертикально сжимающее напряжение в точке М от сосредоточенной силы Р с учетом анизотропии грунта можно вычислить по формуле:

(3.22)

Значения коэффициента К₆ приведены в табл. 12 П.

Сопоставление значений коэффициентов К в табл. 12П и табл. 7П показывает, что при < 1 наблюдается концентрация напряжений по сравнению с изотропным полупространством. При > 1 в зависимости от значения коэффициента бокового расширения может наблюдаться как концентрация, так и рассеивание напряжений. Концентрация напряжений возрастает с увеличением коэффициента бокового расширения.

При действии линейной нагрузки интенсивностью р в аналогичных условиях для вычисления вертикальных напряжений применяется формула:

(3.23)

Значения коэффициента К₇ приведены в табл. 13П.

Влияние на распределение напряжений неглубоко залегающего жесткого или слабого слоя. Наличие на небольшой глубине от поверхности нажимаемого жесткого слоя (скальных или полускальных грунтов) приводит к увеличению (концентрации) сжимающих напряжений по оси нагрузки. Для случая действия местной равномерно распределенной нагрузки (в условиях пространственной задачи) нормальные напряжения на контакте двух слоев могут быть вычислены по формуле:

(3.24)

Значения коэффициента К₈ приведены в табл. 14П.

При наличии на некоторой глубине слабого слоя величину максимального сжимающего напряжения на контакте двух слоев при действии полосообразной равномерно распределенной нагрузки можно вычислить по формуле:

(3.25)

Значения коэффициента К₉ приведены в табл. 15П. Величина V в таблице представляется собой параметр, характеризующий соотношение свойств двух контактирующих слоев:

, (3.26)