2018-01-08
386
Задача 1. Знайти суму ряду 
.
Розв'язання.
За означенням сума ряду дорівнює 
, де 
– 
-а частинна сума ряду. Знайдемо .
Розкладемо дріб 
на суму найпростіших дробів методом невизначених коефіцієнтів.
.
Звідси маємо
Таким чином, 
.
Тому 
.
.
Задача 2. Знайти суму ряду 
.
Розв'язання.
Так, як і при розв'язанні попередньої задачі, розкладемо дріб 
на суму найпростіших дробів.
;
;
Звідси, 
.
Таким чином, 
.
.
Задача 3. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв'язання.
Очевидно,
.
Дослідимо ряд 
на збіжність за ознакою Даламбера.
.
За ознакою Даламбера ряд збігається.
Оскільки 
, то за ознакою порівняння ряд також збігається.
Задача 4. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв'язання.
Очевидно, 
при 
.
Дослідимо на збіжність ряд 
(*).
Порівняємо цей ряд з рядом 
(**), який збігається (як узагальнений гармонічний з показником степені більшим за одиницю). Скористаємося граничною формою ознаки порівняння.
.
Таким чином. Ряди (*) і (**) поводять себе, в сенсі збіжності, однаково. Тобто ряд (**), як і ряд (*), збігається. Ф тоді збігається і еквівалентний ряду (**) ряд .
Задача 5. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв'язання.
Скористаємося ознакою Даламбера.
.
За ознакою Даламбера ряд збігається.
Задача 6. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв'язання.
Скористаємося радикальною ознакою Коші. Ряд 
збігається, якщо 
, і розбігається, якщо 
.
У нас 
.
.
За радикальною ознакою Коші ряд збігається.
Задача 7. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв'язання.
Очевидно, 
.
За інтегральною ознакою Коші, якщо в ряді , 
і функція 
додатна, монотонно спадає і неперервна при 
, то даний ряд і інтеграл 
збігаються або розбігаються одночасно.
Дослідимо за інтегральною ознакою Коші на збіжність ряд 
. У нас 
. Функція при 
додатна, неперервна і монотонно спадає.
.
Оскільки інтеграл 
розбігається, то за інтегральною ознакою Коші розбігається і ряд , а так як , то за ознакою порівняння розбігається ряд .
Задача 8. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв'язання.
За ознакою Лейбніца знакопочередний ряд 
збігається, якщо
1) 
2) 
Застосуємо цю ознаку до даного в умові ряду.
1). 
.
Очевидно, 
, бо 
.
2). 
.
За ознакою Лейбніца ряд збігається.
Задача 9. Обчислити суму ряду 
з точністю 
.
Розв'язання.
Маємо знакопочередний ряд. З наслідку ознаки Лейбніца для знакопочередного ряду випливає, що суму ряду можна наближено замінити -ю частинною сумою. При цьому похибка не перевищує за абсолютною величиною першого з відкинутих членів ряду.
Тому, з точністю до 0,01, маємо
.
Задача 10. Довести справедливість рівності 
.
Розв'язання.
Відомо, якщо ряд збігається, то 
. Дослідимо, чи збігається ряд 
.
Скористаємося ознакою Даламбера.
.
За ознакою Даламбера ряд збігається, а значить .
