Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Векторное пространство. Примеры и простейшие св-ва векторных пространств.Линейная зависимость и независиость системы векторов.Базис и ранг конечной системы векторов.

Линейное, или векторное пространство L(P) над полем P— это непустое множество L, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый x + yϵL

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу λ ϵ P и любому элементу x ϵ L ставится в соответствие единственный элемент из L(P), обозначаемый λx ϵ L(P).

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. x + y = y+ x, для любых х,у ϵ L.(коммукативностьсожения)

2. x + (y+ z) = (x+ y) + z, х,у,z ϵ L.(ассоциативность сожения)

3.существует такое θ ϵ L,что x + θ =x для любогоx ϵ L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности не пусто;

4.для любого x ϵ L существует такой элемент -x ϵ L, что x +(-х)= θ (существование противоположного элемента относительно сложения).

5.(αβ)х=α(βх), (ассоциативность умножения на скаляр)

6.1*х=х (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.(α+ β)* х = α* х + β*х, (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. α * (х+ у) = α *х + α *у, (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Простейшие св-ва:

1.Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2.Для любого x ϵ L противоположный элемент -x ϵ L является единственным

3. 0* х = θ, для любого x ϵ L

4. 1*(-х)=-х для любого x ϵ L

5. α * θ = θ, для любогоα ϵ L

 

Примером ВП яв-ся м\во матриц с вещественными компонентами одинакового порядка с естественным определением операций сложения и умнож. Матриц на веществ-ое число

 

Линейная зависимость\(не) системы векторов(определние,св-ва)

Теорема. (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системы векторов.)

Система векторов векторного пространства является линейно зависимой тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система e₁..e_nлинейно зависимая. Тогда, по определению, она представляет нулевой вектор нетривиально, т.е. существует нетривиальная линейная комбинация данной системы векторов равная нулевому вектору:

α ₁e₁+..+ α_ne_n=0, где хотя бы один из коэффициентов этой линейной комбинации не равен нулю. Пусть α_k≠0,kϵ 1,2…n Разделим обе части предыдущего равенства на этот ненулевой коэффициент (т.е. умножим на α_k^-1 *(α₁e₁+..+ αa_ne_n)=0

Обозначим: α_k^-1α_m=β_m где mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Тогда β₁e₁₊… +β₁e_n=0 т.е. один из векторов системы линейно выражается через другие векторы этой системы, ч.т.д.

 

Достаточность. Пусть один из векторов системы линейно выражается через другие вектора этой системы: e_k=γ₁e_1+..+ γ_ne_n, Перенесем вектор e_k в правую часть этого равенства: 0=γ₁e_1+..+ γ_ne_n

Так как коэффициент при векторе e_kравен -1≠0, то мы имеем нетривиальное представление нуля системой векторов e₁..e_n что означает, что эта система векторов является линейно зависимой, ч.т.д.

Теорема доказана.

Следствие.

1. Система векторов векторного пространства является линейно независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

 

Следствие.

Система, состоящая из одного вектора является линейно независимой тогда и только тогда, когда этот вектор ненулевой.

 

Ба́зис — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему данной системы векторов, называется рангом системы.

Теорема. Пусть даны две системы п- мерных векторов:

a ₁, a ₂,¼, a _r (9)

b ₁, b ₂,¼, b _s, (10)

не обязательно линейно независимые, причём ранг системы (9) равен числу k, ранг системы (10) – числу l. Если первая система линейно выражается через вторую, то k £ l. Если же эти системы эквивалентны, то k = l.

Число элементов (мощность) максимального линейно независимого подмножества пространства не зависит от выбора этого подмножества и называется рангом, или размерностью, пространства, а само это подмножество — базисом