Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости v, которые непрерывно изменяют свое направление и зависят от угловой скорости ω и расстояния r соответствующей точки до оси вращения. Точка, находящаяся на расстоянии r от оси вращения проходит путь ΔS = rΔφ. Поделим обе части равенства на

Переходя к пределам при , получим или .

Таким образом, чем дальше отстоит точка от оси вращения, тем больше ее линейная скорость. По определению ускорения, или

что значения линейной скорости, тангенциального и нормального ускорений растут по мере удаления от оси вращения. Формула устанавливает связь между модулями векторов v, r, ω, которые перпендикулярны друг к другу.

(Вариант 2)

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг какой-то неподвижной оси используются те же величины (и уравнения связи между ними), что и для описания движения точки по окружности. При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси за промежуток времени ∆t углы поворота радиус-векторов различных точек тела одинаковы. Угол поворота ∆φ, средняя ω_cp и мгновенная ω угловые скорости характеризуют вращательное движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость υ какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорционально расстоянию R точки от оси вращения:

При равномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы (∆φ = const) и мгновенная угловая скорость тела равна средней угловой скорости (ω = ω_cp). Тангенциальные ускорения a_τ у различных точек абсолютно твердого тела отсутствуют (a_τ = 0), а нормальное (центростремительное) ускорение a_n какой-либо точки тела зависит от ее расстояния R до оси вращения:

Вектор a_n направлен в каждый момент времени по радиусу траектории точки к оси вращения.При неравномерном вращательном движении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени неодинаковы. Угловая скорость тела ω с течением времени изменяется. Средним угловым ускорением ε_ср в промежутке времени ∆t = t₂ - t₁ называется физическая величина, равная отношению изменения угловой скорости ∆ω = ω₂ - ω₁ вращающегося тела за промежуток времени ∆t к длительности этого промежутка:

Если угловая скорость за произвольные одинаковые промежутки времени изменяется одинаково (∆ω₁₂ = ∆ω₃₄ и т.д.), то ε_ср = const (равнопеременное вращение).

Угловым ускорением (мгновенным угловым ускорением) вращающегося тела в момент времени t называется величина ε, равная пределу, к которому стремится среднее угловое ускорение за промежуток времени от t до t + ∆t при бесконечном уменьшении ∆t, или, угловое ускорение - это первая производная от угловой скорости по времени или вторая производная от угла поворота по времени:

Изменение ∆ω угловой скорости абсолютно твердого тела за промежуток времени ∆t = t - t₀ при равнопеременном вращательном движении с угловым ускорением ε: ∆ω = ε·∆t = ε(t - t₀). Если при t₀ = 0 начальная угловая скорость тела равна ω₀, то в произвольный момент времени t угловая скорость тела будет ω = ω₀ + ε·t. Угол поворота ∆φ тела вокруг оси за промежуток времени ∆t = t - t₀ при равнопеременном движении:

Тангенциальная составляющая ускорения: ; υ = ω·R, поэтому

Нормальная составляющая ускорения:

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: S = R·φ, υ = ω·R, a_τ = R·ε, a_n = ω²·R.

Поступательное движение — это механическое движение системы точек (тела), при котором любой отрезок прямой, связанный с движущимся телом, форма и размеры которого во время движения не меняются, остается параллельным своему положению в любой предыдущий момент времени.^[1]

Приведённая иллюстрация показывает, что, в отличие от распространённого утверждения ^[2]. поступательное движение не является противоположностью движению вращательному, а в общем случае может рассматриваться как совокупность поворотов — не закончившихся вращений. При этом подразумевается, что прямолинейное движение есть поворот вокруг бесконечно удалённого от тела центра поворота.

В общем случае поступательное движение происходит в трёхмерном пространстве, но его основная особенность — сохранение параллельности любого отрезка самому себе, остаётся в силе.

Математически поступательное движение по своему конечному результату эквивалентно параллельному переносу.Однако, рассматриваемое как физический процесс оно представляет собой в трёхмерном пространстве вариант винтового движения.