Атом водорода в квантовой механике. Главное , орбитальное и магнитное поле

АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ

Электрон в атоме водорода находится в центральном

симметричном поле ядра. Поэтому его потенциальная

функция (см. рисунок). Eà0 при rà∞, Eà - ∞ при rà0.

U= - ze(c.2)/r, ▼ψ+ 2m(E+ ze(c.2)/r)ψ=0. Основные заключения, которые приводят к решению уравнения Шреддингера применительно к атому водорода: 1) электрон в атоме водорода обладает дискретным энергетическим спектром, при этом собственное значение энергии электрона En= - mz(c.2)e(c.4)/2n(c.2)π(c.2). Соотношения для энергии стационарного состояния электрона в атоме водорода совпадает с формулой теории Бора. Однако Бору для получения этого результата пришлось вводить априоли квантования. В квантовой механике этот результат получается логически при решении основного уравнения квантовой механики. 2) Собственные значения волновых функций, соответствующих этим энергиям, содержат 3 целочисленных параметра, которые носят название квантовых чисел, n – главное квантовое число, L – орбитальное (азимутальное) квантовое число, m – магнитное квантовое число. n=1,2,3…, L0,…., (n-1), т.е. n значений, m= - L, …,0,…, + L т.е. (2L+1) значение. n=1,L=0,m=0; n=2,L=0,1,m= -1,0,1; n=3,L=0,1,2,m=-2,-1,0,1,2 …Квантовые числа имеют определенный физический смысл, n определяет энергию стационарного состояния электрона в атоме или атома. L определяет величину орбитального механического момента на стационарной орбите, m определяет его проекцию на внешнее направление. В качестве внешнего направления z выбирается, как правило, направление внешнего электрического и магнитного полей. L(в) = h (в)√L(L+1)` - орбитальный момент импульса электрона в атоме, Lz=h(в)m – проекция L(в) на внешнее направление. Т.о. орбитальный момент импульса электрона в атоме, его проекция на внешнее направление, энергия состояния квантованы. 3) энергия состояния определяется только главным квантовым числом. Данному значению энергии En соответствуют волновые функции, определяющие состояние электрона, отличающиеся квантовыми числами L и m. Т.о. атом может обладать одинаковой энергией, находясь в различных состояниях. Число состояний с одинаковой энергией носит название кратности вырождения уровней или состояний, а сами уровни называются вырожденными. Кратность вырождения определяется Σ[L=0, n=1] (2L+1)=n(c.2); n=1 E1, n=2 E2 – 4 состояний, n=3 E3 – 9 состояний. Состояние электрона в атоме, определенное квантовым числом L=1, называется S-состоянием. L=1 S-состояние, L=2 P-состояние, L=3 d-состояние, L=4 f-состояние. Обычно перед символом состояния ставится значение главного квантового числа. Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности обнаружения электрона в различных элементах объема.

a0= r (индекс I)/2. Рассмотрим распределение электрической плотности на различных расстояниях от ядра для различных состояний. Пространственное распределение электронной плотности получим вращая вокруг оси z. Анализ этой зависимости позволяет провести некую аналогию между представлениями квантовой механики и боровской теории. Из 1-го графика следует, что чем больше n, тем на большем расстоянии от ядра плотность вероятности обнаружить электрон падает до нуля. Это совпадает с представлениями Бора о том, что с увеличением n увеличивается радиус электронной орбиты. Максимум плотности вероятности обнаружить электрон в различных оъемах пространства атома совпадает с точками, по которым проходят радиусы боровских орбит. В теории Бора вводится без доказательства главное квантовое число n, которое определяет энергию состояния и орбитальный момент импульса электрона. В квантовой механике квантовые числа n, L и m получаются логически, при решении основного уравнения в квантовой механике. Т.к. при движении электрона в атоме существенными становятся волновые свойства электрона, то квантовая механика абстрагируется в понятии орбитального движения электрона. Каждому энергетическому состоянию в квантовой механике соответствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет плотность вероятности нахождения электрона в различных элементах объема. Эта плотность вероятности различна в различных элементах объема, т.е. электрон как бы размазан в пространстве, образуя электронное облако, размеры и форма которого определяется соответственно главным и орбитальным квантовыми числами, а магнитное квантовое число определяет ориентацию его в пространстве. Вквантовой механики доказывается, что возможны лишь такие переходы между состояниями, при которых орбитальное квантовое число меняется на 1, ∆L=+ - 1 - правило отбора для орбитального квантового числа. Его существование вытекает из закона сохранения момента количества движения. Т.к. фотон обладает импульсом, то при испускании фотона атомом он как бы уносится

из атома. ∆L= -1, а при поглощении этот фотон как бы приносится в атом ∆L=1. Тогда энергетический спектр атома водорода: (см. рисунок)