Визначення прискорення вільного падіння методом математичного маятника

Обладнання: кулька на нитці, штатив, лінійка, секундомір.

Теоретичні відомості

Падіння тіл на Землі – один з проявів закону всесвітнього тяжіння, відкритого І. Ньютоном. Згідно з законом всесвітнього тяжіння сила взаємодії двох матеріальних точок з масами , на відстані визначається рівнянням:

, (4.1)

де м³/кг·с² – гравітаційна стала.

Дослідження, проведені ще Ньютоном, показали, що в даному місці на Землі всі тіла падають з однаковим прискоренням. На основі закону всесвітнього тяжіння воно повинно дорівнювати

, (4.2)

де – маса Землі, – радіус Землі для даного місця спостережень.

Збільшення прискорення вільного падіння при переміщенні від екватора до полюсів показало, що Земля має форму геоїда. Прискорення на широті 45˚ м/с² умовилися називати нормальним прискоренням.

Земна кора в різних місцях має неоднаковий склад, тому там, де кора має більшу густину, прискорення вільного падіння збільшується. Це послужило засобом для розвідування корисних копалин.

За законом всесвітнього тяжіння в міру віддалення від Землі прискорення вільного падіння зменшується обернено пропорційно квадрату віддалі від центра Землі. Це зменшення стає істотним і береться до уваги при обчисленні траєкторій штучних космічних тіл.

Одним з методів визначення прискорення вільного падіння є метод використання математичного маятника (рис. 11).

Рис. 11

Математичний маятник – це підвішена на невагомій нерозтяжній нитці матеріальна точка. При малих відхиленнях від положення рівноваги (що складає 3˚–5˚) рух такого маятника є прикладом гармонічного коливального руху матеріальної точки.

Період малих коливань математичного маятника визначається формулою:

(4.3)

де – довжина маятника, – прискорення вільного падіння. Довжину маятника можна змінювати. Для двох різних довжин маятника і одержимо формулу для визначення прискорення :

. (4.4)

Тобто для визначення за допомогою (4.4) потрібно виміряти різницю довжин та періоди коливань для кожної довжини і .

Для зменшення похибки визначають час 50 коливань маятника, а після цього обчислюють період коливань. Всі виміри повторюють не менше трьох разів.

Порядок виконання роботи

1. Відвести маятник від положення рівноваги на кут 4-5˚, відпустити і в момент проходження одного з крайніх положень ввімкнути секундомір.

2. Зафіксувати п’ятидесяте коливання маятника і зупинити секундомір. Змінити .

3. За допомогою лінійки виміряти зміну довжини нитки .

4. Для даної довжини маятника виконати знову пункти 1-2. Знову змінити .

5. Виконати необхідні обчислення за формулою (4.4).

6. Вивести формулу та обчислити відносну і абсолютну похибки вимірів.

7. Результати вимірювань занести в таблицю:

Контрольні запитання

1. Від чого залежить прискорення вільного падіння на Землі?

2. На підставі одержаних результатів визначте масу та густину Землі, знаючи середній радіус Землі.

3. Який маятник називають математичним?

4. Що таке період? Частота? Герц? Амплітуда? Фаза?

5. Тіло кинули вертикально вгору. З якого моменту починається вільне падіння тіла?

6. Покажіть, що м/с²= Н/кг.

7. Виведіть формулу (4.4) з інструкції.

8. Чому величина кута відхилення маятника не повинна перевищувати 4-5˚?

9. Знайдіть значення на висоті, рівній радіусу Землі.

10. Яке значення має в центрі Землі?

11. Визначить значення швидкості, яку необхідно надати тілу, щоб воно назавжди залишило земне тяжіння. Обертальний рух Землі не враховувати. Маса тіла набагато менша від маси Землі

12. Визначить прискорення вільного падіння у шахті, на глибині від поверхні Землі. Землю вважати однорідною кулею з середньою густиною Середній радіус Землі

Лабораторна робота № 5

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАНЬ ПРУЖИННОГО МАЯТНИКА

Обладнання: набір важків; спіральна пружина; штатив; вимірювальна лінійка; секундомір.

Теоретичні відомості

Рис. 12

Вантаж, підвішений на стальній пружині і виведений з положення рівноваги, здійснює під дією сил тяжіння та пружності пружини гармонічні коливання (рис.12).

Власна частота коливань такого пружинного маятника визначається за формулою:

(5.1)

де – жорсткість пружини, – маса тіла.

Завдання цієї роботи полягає у тому, щоб експериментально перевірити отриману теоретичну закономірність. Для розв’язку цієї задачі спочатку необхідно визначити жорсткість пружини, масу та обчислити власну частоту і період коливань маятника. Потім, підвісивши вантаж масою на пружину, експериментально перевірити отриманий теоретичний результат.

Порядок виконання роботи

1. Підготуйте в зошиті таблицю для внесення результатів вимірювань та обчислень:

№	Н	м		кг	с^-1	с	c^-1

2. Закріпіть пружину в лапці штатива і поряд з нею закріпіть вертикально вимірювальну лінійку. Відмітьте початкове положення кінця нерозтягнутої пружини.

3. Послідовно до пружини підвішуйте вантажі масою 100, 200, 300, 400 г і для кожного випадку, виміряйте видовження пружини . Враховуючи, що сила пружності дорівнює силі тяжіння, що діє на вантаж (за модулем), за формулою (5.2) визначте силу пружності для кожного видовження пружини .

(5.2)

За одержаними даними побудуйте графік залежності видовження пружини від сили пружності . Користуючись графіком, визначте значення коефіцієнта жорсткості пружини. Для цього в передній частині графіка виберіть зручну точку і, визначивши її координати, обчисліть значення коефіцієнта жорсткості за формулою (5.3)

(5.3)

4. Знаючи жорсткість пружини, обчисліть власну частоту коливань та період пружинного маятника масою 100 г, 200 г, 300 г і 400 г.

5. Залиште на пружині вантаж масою 100 г, виведіть пружинний маятник з положення рівноваги, змістивши його на 5-7 см вниз, і експериментально визначте частоту коливань маятника. Для цього визначте інтервал часу , за який маятник здійснює 20 повних коливань, і виконайте розрахунки за формулою (5.4).

(5.4)

де - кількість коливань.

Зауваження: секундомір вмикайте тільки після того, як коливання маятника стабілізуються!

6. Такі ж вимірювання та обчислення виконайте з маятником масою 200 г, 300 г і 400 г.

7. Обчисліть відхилення розрахункового значення власної частоти коливань пружинного маятника від частоти , одержаної експериментально, і результати вимірювань та обчислень занесіть у таблицю.

Контрольні запитання

1. За яким законом відбуваються коливання тіла, підвішеного на пружині?

2. Чи залежить частота коливань пружинного маятника від амплітуди коливань?

3. Яким був би результат досліду в умовах невагомості?

4. Коефіцієнт жорсткості пружини фізично означає…

5. Сформулюйте закон Гука. Запишіть його формулу. Поясніть знак “мінус”.

6. Що таке “повне коливання”?

7. З формули (5.1) виведіть розмірність .

8. Дайте означення маси, сили, ваги і сили тяжіння.

9. Що таке ньютон? Виразіть ньютон через основні одиниці СІ.

10. Чи залежить коефіцієнт жорсткості пружини від маси вантажу, підвішеного до пружини?

11. Назвіть основні характеристики коливального руху та надайте їхні означення.

12. Запишіть диференціальне рівняння руху пружинного осцилятора.

13. Опишіть перетворення енергії при гармонічних коливаннях вантажу на пружині.

Лабораторна робота № 6

ВИЗНАЧЕННЯ МАСИ ТІЛА МЕТОДОМ ГІДРОСТАТИЧНОГО ЗВАЖУВАННЯ

Обладнання: динамометр шкільний із заклеєною шкалою; мензурка; тіло довільної форми невідомої маси; штатив; посудина з водою; лінійка вимірювальна.

Теоретичні відомості

Вся складність роботи полягає у тому, що для градуювання пружини динамометра немає важків відомої маси. Цю складність можна подолати, вимірявши видовження пружини при підвішуванні до неї вантажу невідомої маси m у повітрі, а потім видовження цієї ж пружини при зануренні цього ж вантажу у воду (рис. 13).

Запишемо рівняння рівноваги вантажу на пружині у повітрі:

(6.1)

та рівняння рівноваги цього ж вантажу, зануреного у воду:

_,(6.2)

де – коефіцієнт жорсткості пружини, – архімедова сила, що діє на тіло невідомої маси у воді. Вона дорівнює:

, (6.3)

де – густина води; – об’єм тіла.

Вимірявши об’єм тіла за допомогою мензурки та скориставшись виразами (6.1) – (6.3), можна визначити коефіцієнт жорсткості пружини:

, (6.4)

а потім і шукану масу тіла:

(6.5)

Рис. 13

Порядок виконання роботи

1. Закріпити динамометр із заклеєною шкалою в штативі. Відмітити лінією (позначкою) нижнє положення кінця ненавантаженої пружини.

2. Підвисити до пружини вантаж невідомої маси і відмітити нижнє положення кінця навантаженої пружини. Виміряти лінійкою видовження пружини.

3. Опустити підвішений на пружині динамометра вантаж в посудину з водою і виміряти нове видовження пружини.

4. Налити в мензурку води. Опустити в мензурку з водою вантаж і виміряти збільшення об’єму води в мензурці, рівне об’єму тіла.

5. Обчислити коефіцієнт жорсткості пружини за формулою (6.4) і масу вантажу за формулою (6.5).

6. Знайти відносну та абсолютну похибки визначення маси. За абсолютні похибки і взяти половини ціни найменших поділок лінійки і мензурки відповідно, а відносну похибку визначення маси знайдемо із такої залежності: