Исследовать устойчивость линеаризованной системы можно любым из известных методов. В инженерной практике широко используются аналитические критерии оценки устойчивости (например, критерий Гурвица) или частотные методы. Использование критерия Гурвица удобно для систем не выше 4-го порядка, он позволяет судить не только об устойчивости исследуемой системы при фиксированных значениях ее параметров, но и о влиянии каждого из них. Частотные методы теоретически не накладывают ограничений на порядок системы, однако оценка влияния входящих параметров на ее устойчивость связана с трудоемкими построениями частотных характеристик.
По критерию Гурвица гидромеханическая система управления будет устойчива тогда и только тогда, когда положительны все определителей, составленных из коэффициентов характеристического уравнения системы.
Характеристическое уравнение гидромеханической системы управления, определяющее устойчивость, на основании выражения передаточной функции запишется в виде:
|
|
(86)
где , , , .
В соответствии с критерием Гурвица, для устойчивости гидромеханической следящей системы управления необходимо, чтобы все коэффициенты уравнения были положительными, и соблюдалось условие >0, или > . (87)
В частном случае, когда условие устойчивости следящей системы управления упрощается и выражается формулой
< (88)
Выражение (70) накладывает ограничение на величину коэффициента добротности гидромеханической системы управления с отрицательным коэффициентом передачи. Оно показывает, что для устойчивости системы управления с учетом принятых допущений необходимо, чтобы коэффициент добротности не превышал отношения жесткости «гидравлической пружины» силового гидроцилиндра системы управления к жесткости механической характеристики дроссельного привода системы управления.
Рассмотрим устойчивость разработанной гидромеханической следящей системы управления (рис.7) применительно к типовой шахтной однобарабанной подъемной установке Ц2,5х2АР оснащенную безредукторным гидравлическим приводом.
На основании статического расчета элементов следящей системы управления определены ее исходные конструктивные параметры и основные характеристики, которые представлены в табл. 1.
Таблица 1
Исходные данные для расчета системы управления на устойчивость
-масса проводки управления | |||
-координата перемещения входного звена системы управления | 0,4 | ||
-коэф. вязкого трения проводки управления | 4·102 | ||
-жесткость проводки управления | 5·104 | ||
-коэф. передачи по входному сигналу | - | 0,5 | |
-коэф. вязкого трения золотника | 0,5·103 | ||
-перемещение плунжера золотника | 4·10-3 | ||
-коэффициент обратной связи | _ | 0,5 | |
-перемещение поршня | 10·10-3 | ||
-перемещение цилиндра | 0,15·10-6 | ||
-коэффициент усиления по расходу | 0,716 | ||
-коэф. скольжения золотника по расходу | 8,5·10-12 | ||
-перепад давления на гидроцилиндре (макс.) | 4,7·106 | ||
-коэф. объемных потерь на гидроцилиндре | 0,3·10-5 | ||
-коэф. сжимаемости рабочей жидкости | МПа | 7,14·10-4 | |
-коэф. вязкого трения поршня | 0.1·106 | ||
-коэф. вязкого демпфирования нагрузки | 2·104 | ||
-приведенная масса поршня и жидкости в гидроцилиндре и гидролиниях | 7,5 | ||
-приведенная масса гидроцилиндра | 6,5 | ||
-масса нагрузки | |||
-коэф. жесткости основания гидроцилиндра | 7∙1010 | ||
-жесткость рабочего органа нагрузки | 3,9·105 | ||
-жесткость силовой проводки | 1,0·107 | ||
и -рабочая площадь поршня и цилиндра исполнительного органа системы управления | 0,02355 | ||
-диаметр поршня гидроцилиндра | 0,03 | ||
-приведенный модуль упругости жидкости | 1,4·109 | ||
-объем жидкости в рабочей камере цилиндра | 1·10-4 | ||
-жесткость гидравлической пружины исполнительного гидроцилиндра | 1,55·1010 | ||
-коэффициент обобщенной жесткости гидромеханической системы управления | 1,26·1010 | ||
-коэффициент добротности следящей системы управления | 21,7 | ||
-постоянная времени системы управления | 0,046 | ||
-радиальный зазор в золотнике | 40-5 | ||
-давление питания системы управления | 5·106 | ||
-коэф. усиления по давлению | 0,025·1012 | ||
-коэффициент скольжения по расходу | 28,64·10-12 | ||
-коэф. жесткости механической характеристики дроссельной системы управления | 19,36·106 | ||
коэффициент передачи | - | 0,25 |
|
|
Запишем характеристическое уравнение гидромеханической системы управления, определяющее устойчивость, в виде:
(89)
где , , , - коэффициенты характеристического уравнения.
Определим значения этих коэффициентов.
= ,
=
= ; .
Как видно, коэффициенты характеристического уравнения все положительные. Проверим соблюдение условия >0.
=1,5·10-6×1,00103334356– 2,19·10-9×1=1,5·10-6>0. Следовательно, необходимое условие соблюдается. Поэтому система управления устойчивая.
Проверим устойчивость системы управления по уравнению
> (90)
Подставим, численные значения параметров в это выражение, получим:
= ;
= ;
;
.
В результате выполненных операций получим соотношение
0,069·10-6 > 0,0476·10-6
Таким образом, условие устойчивости по уравнению выполняется.
Для частного случая, если бы коэффициент вязкого демпфирования нагрузки был бы равен нулю, то условие устойчивости определялось бы по выражению
Следовательно, при < 800 условие устойчивости также выполняется.