2018-01-21
207| Ауд. | Л-3, Гл. 2 | № 163, 164, 166, 187, 191, 192. |
☺ ☻ ☺
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:
1) умножение строки или столбца на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на любое число;
3) перестановка двух строк (столбцов).
Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
•• ☻☻ ••
Пример 1 – 163: Найти ранг матрицы: 
= 
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
= (1) → 
= (2) → 
= (3) → 
.
Операции: (1): [C3]–[C2]; [C2]–[C1]. (2): [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1] делим на число 3 строки матрицы 2,3,4. (3): [C3]–[C2]; [R4]–[R3]; [R3]–[R2]; [R2]–[R1].
2). Видим (!): ранг матрицы равен 2.
Ответ: 
= 2.
Пример 2 – 164: Найти ранг матрицы: = 
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
= (1) → 
= (2) → 
= (3) → 
= (4) → 
.
Операции: (1): [C4]+[C3]; [C3]+[C1]; [C3]+[C1]∙2. (2): [C4]+[C3]; [C3]–[C2]∙2. (3): [R4]–[R3]; [R3]+[R2]; [R2]–[R1], разделим [R2] на 5. (4) действия очевидны.
2). Видим (!): ранг матрицы равен 2.
Ответ: = 2.
Пример 3 – 166: Найти ранг матрицы: = 
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
= (1) → 
= (2) → 
= (3) → 
= (4) → 
.
Операции: (1): [C3]–[C1] и разделить на 10; [C2]–[C3] и делим на 2. (2): используя [C2] чистим строку-3, [R4]–[R2]∙4. (3): [C4]+[C1], используя [C3] чистим строку-1, используя [C4] чистим строку-2. (4) действия очевидны.
2). Видим (!): ранг матрицы равен 3.
Ответ: = 3.
Пример 4 – 187: Решить систему уравнений: 
по правилу Крамера.
Решение:
1). Составим определитель системы: d = 
и определители: 
= 
, заменяя 1-й столбец определителя d столбцом 
правой части; 
= 
, заменяя 2-й столбец определителя d столбцом правой части.
2). Вычислили: d =31, = 496, =217.
3). Применяя правило Крамера, получим: x = 
=16; y = 
=7.
Ответ: x =16; y =7.
Пример 5 – 191: Решить систему уравнений: 
пользуясь формулами Крамера.
Решение:
1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица 
:
A = 
, = 
.
2) Формулы Крамера в общем виде: 
, 
, 
. Вычислим все величины, входящие в эти формулы, для заданной системы уравнений:
d = 
= –29, = 
= –29, = 
=–87, 
= 
= –145.
3) Вычислим неизвестные: 
=1, 
=3, 
=5 → решение заданной системы уравнений.
Ответ: =1, =3, =5.
Пример 6 – 192: Решить систему уравнений: 
пользуясь формулами Крамера.
Решение:
1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица :
A = 
, = 
.
2) Формулы Крамера в общем виде: , , . Вычислим все величины, входящие в эти формулы, для заданной системы уравнений:
d = 
= 2, = 
= 6, = 
=–87, = 
= –145.
3) Вычислим неизвестные: =3, =1, =−1 → решение заданной системы уравнений.
Ответ: =3, =1, =−1.
* * * * * * * * * *
Домашнее задание
| Ауд. | Л-3, Гл. 2 | № 165, 168, 188, 190. |
Пример 1 – 165: Найти ранг матрицы: = 
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
= (1) → 
= (2) → 
= (3) → 
= (4) → 
.
Операции: (1): [R3]–[R2]∙2; [R4]–[R2], делим [C4] на 2. (2): [C1]–[C4], делим [C1] на 2; [R4]–[R1]∙2, делим [C4] на 3; [R2]+[R1], делим [C2] на 4. (3): [C4]+[C2], делим [C4] на 4, используя [R4] чистим столбец-4; [R1]+[R3], делим [R1] на 2. (4) действия очевидны.
2). Видим (!): ранг матрицы равен 2.
Ответ: = 2.
Пример 2 – 168: Найти ранг матрицы: = 
при помощи элементарных преобразований.
Решение:
1). Применим элементарные преобразования к заданной матрице:
= (1) → 
= (2) → 
= (3) →.
Операции: (1): [C2]–[C6], используя [C2] чистим строку-4. (2): используя [C1] чистим строку-3, используя [C3] чистим строку-2, используя [C4] чистим строку-1. (3): действия очевидны.
2). Видим (!): ранг матрицы равен 4.
Ответ: = 4.
Пример 3 – 188: Решить систему уравнений: 
по правилу Крамера.
Решение:
1). Составим определитель системы: 
= 
и определители: = 
, заменяя 1-й столбец определителя: столбцом 
правой части; = 
, заменяя 2-й столбец определителя столбцом правой части.
2). Вычислили: =24, = 48, =72.
3). Применяя правило Крамера, получим: = =2; = =3; = 
=3.
Ответ: =2; =3.
Пример 4 – 190: Решить систему уравнений: 
пользуясь формулами Крамера.
Решение:
1) Системе уравнений соответствуют: матрица системы A и расширенная матрица :
A = 
, = 
.
2) Формулы Крамера в общем виде: , , . Вычислим все величины, входящие в эти формулы, для заданной системы уравнений:
= 
= –36, = 
= –72, = 
=36, = 
= –36.
3) Вычислим неизвестные: =2, =–1, =1 → решение заданной системы уравнений.
Ответ: =2, =–1, =1.
•• ☻☻ ••
Вопросы для самопроверки:
1. Можно ли, применяя правило Крамера, провести полное исследование решений системы линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных?
2. Можно ли решить систему уравнений по правилу Крамера, если все значения свободных членов b i, i = 1,2, …, n равны нулю?
