2018-01-21
245
Пусть функция y=y(u) определена в области U, а функция u=u(x) – в области Х, причем все значения функции u=u(x) содержатся в области U.
Каждому значению х соответствует одно определенное значение u, которому соответствует одно определенное значение у.
ед. 
ед. у.
В конечном итоге каждому значению х соответствует одно определенное значение у.
Полученная функция 
является сложной функцией, u – промежуточный аргумент, который является функцией от независимой переменной х.
Теорема. Если функция u=u(x) непрерывна в точке 
, а функция y=y(u) непрерывна в точке 
, то сложная функция непрерывна в точке .
В общем случае. Сложная функция, составленная из конечного числа непрерывных функций, непрерывна.
Замечание. Под знаком непрерывной можно переходить к пределу.
.
def. Элементарной функцией называется такая функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа образований сложных функций.
Пример. 
Теорема. Всякая элементарная функция непрерывна во всех точках, принадлежащих ее области определения.
[Непрерывность основной элементарной функции в области определения доказывается по определению, а далее на основании свойств над непрерывными функциями и этой теоремы доказываем непрерывность функции].
Следствие. Предел элементарной функции при 
, где принадлежит области определения функции, вычисляется:
