Что такое логическая формула?

С помощью логических переменных и символов логических операций любое высказывание можно формализовать, то есть заменить логической формулой.

Определение логической формулы: 1. Всякая логическая переменная A, B … и символы “истина” (“1”) и “ложь” (“0”) есть элементарные формулы. 2. Если же А и В — формулы, то и , (А • В), (А Ú В), (А à B), (А ~ В) — есть тоже формулы. 3. Никаких других формул в алгебре логики нет.

В качестве примера рассмотрим высказывание “ если я куплю яблоки или абрикосы, то могу приготовить фруктовый пирог ”. Это высказывание формализуется в виде формулы (A Ú B) à C. Как показывает анализ формулы

(A Ú B) à C, при определённых сочетаниях значений переменных A, B и C она принимает значение “истина”, а при некоторых других сочетаниях — значение “ложь”. Такие формулы называются выполнимыми.

Некоторые формулы принимают значение “ истина ” при любых значениях истинности входящих в них переменных. Таковой будет, например, формула А Ú , соответствующая высказыванию “ Этот треугольник прямоугольный или косоугольный ”. Эта формула истинна и тогда, когда треугольник прямоугольный, и тогда, когда треугольник не прямоугольный. Такие формулы называются тождественно истинными формулами или тавтологиями. Высказывания, которые формализуются тавтологиями, называются логически истинными высказываниями.

В качестве другого примера рассмотрим формулу А • , которой соответствует, например, высказывание “ Катя самая высокая девочка в классе, и в классе есть девочки выше Кати ”. Очевидно, что эта формула всегда ложна, так как либо А, либо обязательно ложно. Такие формулы называются тождественно ложными формулами или противоречиями. Высказывания, которые формализуются противоречиями, называются логически ложными высказываниями.

Если две формулы A и B при одинаковых наборах значений входящих в них переменных принимают одинаковые значения, то они называются равносильными.

Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом “ = ” или символом “ Î ”. Замена формулы другой, ей равносильной, называется равносильным преобразованием данной формулы.