2018-01-21
4787Рис. 3.1 - Нормальные и касательные напряжения в элементарном объеме среды
Учитывая положение статики о равенстве нулю полного момента сил, действующих на малый элемент, получаем τxy = τyx, τyz = τzy, τzx = τxz, то есть для описания напряженного состояния достаточно шести компонентов.
Линейные деформации, возникающие по направлению нормально действующей силы F (рис. 3.2), называются продольными, а при действии касательных сил - поперечными.
Поперечные деформации опытного образца выражаются через угол сдвига граней - γ. Количественно величина деформации сдвига оценивается по величине tgγ. При небольших величинах углов tgγ = γ
Относительные изменения длин соответствующих ребер куба определяются величиной ε. Связь между напряжениями и деформациями в случае однородного изотропного по упругим свойствам объекта определяется системой уравнений обобщенного закона Гука:
εх = 1/Е(σх –μ(σy + σz)); γxy = τxy/G;
εy = 1/Е(σy –μ(σx + σz)); γyz = τyz/G; (3.1)
εz = 1/Е(σz –μ(σx + σy)); γxz = τxz/G;
где Е – модуль Юнга, μ – коэффициент Пуассона, G – модуль сдвига..
Модуль Юнга Е (модуль продольной упругости) характеризует соотношение между напряжением и продольной деформацией при одноосном усилии:
E = 
/ 
= 
; (2.2)
где отношение F/S - напряжение, передаваемое на тело.
Модуль Юнга характеризует способность тел сопротивляться деформации растяжения или сжатия. Величина модуля Юнга, измеренного на сжатие, больше величины модуля Юнга, измеренного на растяжение:
Есж/Ер=1,5÷1,55
Рис. 2.2 - Деформация образца породы под действием нормальных (а) и касательных (б) сил F
l - исходный продольный размер образца; Δl – его уменьшение; d - исходный поперечный размер образца; Δd – его увеличение; γ - угол сдвига; S - поперечное сечение
коэффициент Пуассона - отношение относительной поперечной деформации при сжатии иди растяжении:
μ = 
/ (2.3)
коэффициент Пуассона(коэффициент поперечной деформации) представляет собой коэффициент пропорциональности между продольными и поперечными деформациями. В твердых породах (табл. 2.1) он изменяется от 0,1 до 0,4 и более.
Таблица 2.1 - Значения коэффициента Пуассона для осадочных пород
| Название породы | Коэффициент Пуассона |
| Глина пластичная | 0,38 - 0,45 |
| Глина плотная | 0,25 - 0,35 |
| Глинистые сланцы | 0,10 - 0,20 |
| Известняки плотные | 0,28 - 0,33 |
| Известняки трещиноватые | 0,25 - 0,27 |
| Доломиты | 0,30 - 0,40 |
| Песчаник плотный | 0, 15 - 0,25 |
| Песчаник слабосцементированный | 0,22 - 0,30 |
Чем больше значение коэффициента Пуассона, тем больше порода может деформироваться. Более однородные по минеральному составу породы характеризуются более низкими значениями μ.
Модуль сдвига - показатель, связывающий касательное напряжение с деформациями сдвига. Он равен отношению приложенного к породе касательного напряжения τ к углу сдвига γ:
G = τ / γ (2.4)
Этот показатель используется при расчете устойчивости сооружений и массивов пород, давлений пород на ограждения и подземные сооружения.
Модули Юнга Е и модуль сдвига G считаются основными характеристиками упругости пород. Они связаны с коэффициентом Пуассона следующей зависимостью:
G = 
(2.5)
Для характеристики упругих свойств используется и параметр Ламе – Е и v:
L=E×μ / (1+μ)(1-2μ) = 2μG(1-2μ); (2.6)
v=G=E/2(1+µ)
Под действием равномерного трехосного сжатия изменяются не только линейные размеры и форма тела, но и его объем. При этом объемная деформация пропорциональна среднему напряжению:
εV = ΔV/V = σ0/kвст (2.7)
где ΔV - изменение объема элементарного куба под действием внешней нагрузки, V - начальный объем элементарного куба, kвст- модуль всестороннего объемного сжатия.
Модуль всестороннего сжатия kвст связан с Е и μ пород соотношением:
kвст = Е / 3×(1 - 2μ) (2.8)
Единицей измерения модулей Е, G и kвств системе СИ является Паскаль. Модуль сдвига G всегда меньше модуля Юнга Е для соответствующих пород.Значения kвстмогут быть как меньше, так и больше значений модуля Юнга.
Модули Е, G и kвстзависят от температуры и давления. Так, величина kвс возрастает с давлением и уменьшается с температурой.
Одним из важных параметров, влияющих на значения упругих постоянных, является пористость горных пород. Отмечается общая закономерность снижения упругих модулей при увеличении пористости пород. При этом для пород с пористостью до 0,5-0,7% не требуется поправок при расчете упругих констант. При дальнейшем увеличении пористости до значений более 0,7% модули упругости понижаются существенно..
Способы и единицы измерения упругих модулей горных пород
Существуют два вида способов определения упругих модулей пород: статические и динамические.
Статические способы основываются на наблюдениях статических деформаций растяжения, изгиба или кручения ориентированных кристаллических образцов. Для подобных измерений применяют крупные образцы в виде стержней (с круглым или прямоугольным сечением) или пластин, при этом длина стержня должна быть значительно больше, чем размеры его поперечного сечения. Полученные величины деформаций используют для расчета значений упругих параметров вещества. Точность статических методов определяется точностью измерений малых деформаций. В современных модификациях статических методов с целью повышения точности измерений малых деформаций используются разнообразные средства: статические приборы, электрические датчики, механические струнные и стрелочные приборы. Для снижения ошибок измерений примерные размеры образцов соответствуют 5×5×12 см3.
Многочисленные динамические методы измерений упругих констант можно подразделить на три большие группы:
а) методы, связанные с определением собственных частот колебаний ориентированных кристаллических образцов (резонансные методы);
б) методы, использующие определение скорости звука в выбранных направлениях (импульсный метод);
в) методы, основанные на взаимодействии кристаллической решетки с излучением (методы рассеяния рентгеновских лучей и др.).
Наиболее широко используются методы второй группы. В основу импульсных методов положены идеи радиолокациейной техники, давшие возможность использовать методы радиоэлектроники для измерения скоростей распространения коротких высокочастотных импульсов в упругой среде.
Для этого используются образцы, размеры которых во всех направлениях превышают длину распространяющейся волны, что позволяет рассматривать данный объект как бесконечно протяженную среду, а распространяющиеся волны - как плоские волны. Другими словами, должно выполняться условие l<d, где l - длина волны ультразвуковых колебаний, которые применяются при измерениях; d - наименьший поперечный размер образца (кристалла). Учитывая это обстоятельство, из которого видно, что, повышая частоту ульразвуковых колебаний, можно работать на объектах на уровне кристаллов, и то, что исследуемый объект не разрушается в процессе измерений, этот метод в настоящее время получил достаточно широкое распространение.
Суть метода сводится к следующему. Если через образец длиной l послать с помощью пьезоэлектрического преобразователя 1 (рис. 2.3) (излучатель) короткий ультразвуковой импульс длительностью t и частотой f, то, пройдя через образец за время t=l/V, упругая волна будет принята другим пьезоэлектрическим преобразователем 2 (приемник) на противоположной стороне образца.
Импульсы ультразвука, принятые приемником, после соответствующего усиления можно наблюдать на экране осциллографа, что позволяет определять время пробега волны в образце, а следовательно, и скорость при известной длине образца. Существуют и другие модификации импульсных методов, дающие конечный результат измерений в цифровой форме. Единицы измерения упругих констант сведены в таблице 2.2.
Рисунок 2.3 - Схема расположения пьезоэлементов при измерении упругих свойств горных пород
Таблица 2.2 - Параметры упругости
| Параметр, индекс | Определение | Единицы измерения | |
| СИ | СГС | ||
| Скорость продольных волн - Vp | Скорость упругих волн, возникающих вследствие деформаций растяжение - сжатие в твердых телах, жидкостях, газах | м/с (км/с) | см/с |
| Скорость поперечных волн - Vs | Скорость упругих волн, возникающих вследствие деформаций сдвига в твердых телах | м/с (км/с) | см /с |
| Модуль Юнга - Е | Отношение нормального напряжения к относительному удлинению, вызванному этим напряжением в направлении действия | Па | дин/см2 |
| Коэффициент Пуассона - μ | Отношение поперечного сжатия тела при одноосном растяжении к продольному удлинению | - | - |
| Модуль сдвига G | Отношение касательного напряжения к величине угла сдвига, характеризующее способность тел сопротивляться изменению формы | Па | дин/см2 |
2.3 Сейсмоакустические свойства горных пород
Сейсмоакустические свойства определяют закономерности распространения в горных породах упругих колебаний. При решении геологических задач применяется комплекс методов в широком частотном диапазоне: от сейсмических (низкочастотных с частотой до 500 Гц) до акустических с частотами 0,5-10 КГц и ультразвуковых на частотах свыше 10 КГц (таблица 2.3).
Использование сейсмоакустических методов для оценки состава, состояния и физико-механических свойств пород определяется наличием связей между измеряемыми сейсмоакустическими характеристиками горных пород и показателями их состава, состояния и свойств.
Таблица 2.3 - Основные виды сейсмоакустических исследований в геологии
| Виды исследований | Используемые частоты (для продольных волн), Гц |
| Сейсмические профильные наблюдения на поверхности земли | 30—100 |
| Сейсмическое просвечивание горных ассивов | 30—100 |
| Сейсмическое профилирование в горных выработках | 70—300 |
| Акустическое профилирование в горных выработках и на обнажениях | 1000—5000 |
| Акустический и ультразвуковой каротаж | 20000—50000 |
| Ультразвуковые наблюдения в в шпурах и на обнажениях | 20000—50000 |
| Ультразвуковые исследования образцов | 20000—50000 |
К сейсмическим свойствам горных пород относят скорости распространения продольных Vр, поперечньих Vs, и поверхностных волн Vr. коэффициенты поглощения этих волн αр и αs.
Возникающие в упругих средах деформации обуславливают распространение продольных и поперечных волн.
Продольные волны ( Р)создаются деформациями объема (растяжение - сжатие), поперечные (S)- деформациями сдвига и кручения. Продольные волны распространяются в любой среде - газах, жидкостях и твердых телах, так как все вещества обладают упругим сопротивлением объемному сжатию.
Поперечные волны могут распространяться только в твердых средах и слоях рыхло - и прочно связанной жидкости, характеризующихся относительно фиксированным положением молекул.
Продольные и поперечные волны распространяются по всему объему (кроме них существуют поверхностные волны).
Скорости распространения упругих волн в неограниченной абсолютно упругой изотропной среде можно определять по формулам, являющимся решениями волновых уравнений. При этом скорость распространения продольной волны определяется соотношением:
(2.9)
где Е - модуль Юнга, μ - коэффициент Пуассона, σ - плотность среды; L -коэффициент Ламе, G - модуль сдвига,
Скорость распространения поперечной упругой волны:
(2.10)
2.4 Скорости упругих волн в магматическах и метаморфическвх породах
Сейсмоакустические свойства магматических и метаморфических пород определяются в значительной мере особенностями химического и минерального состава, текстурно-структурными факторами, характером порового заполнителя. Минимальные значения скоростей характерны для породообразующих минералов, содержащих в своем составе оксиды натрия, калия, кремния, кварц, калиевый полевой шпат, олигоклаз, и др. Наличие в составе минералов оксидов кальция, магния и железа, обладающих повышенной плотностью, приводит к возрастанию скорости упругих колебаний. К числу таких минералов относят амфибол, пироксен, оливин и др.
В магматических породах в ряду гранит-габбро-перидотит наблюдается возрастание средней скорости продольных и поперечных волн с ростом основности (таблица 2.4). Широкий диапазон значений скорости в эффузивных породах обусловлен колебанием пористости, различием первоначальной структуры пород и их последующим диагенезом. Степень кристаллизации не оказывает существенного влияния на величину скорости упругих волн.
Для метаморфических пород также характерна зависимость скорости упругих волн от минерального состава и основности пород. Например, средняя скорость в биотитовом гнейсе составляет 5600 м/с, в амфиболовом гнейсе - 5900м/с, в амфиболите - 6500 м/с, в амфиболите с гранатом - 6800 м/с.
В породах близкого минерального состава скорость волн возрастает от низших стадий метаморфизма - к высшим за счет уплотнения пород. При региональном метаморфизме в кислых кристаллических породах увеличение скорости упругих волн может составлять всего лишь 3 - 5 %. В то время как, в породах основного состава возрастание скорости продольных волн может достигать 15÷25%.
Таблица 2.4 - Скорость упругих волн в магматических породах
| Порода | Vр, м/с | VS,м/с | |
| Средняя | VPmin÷VPmax | ||
| Граниг биотит - амфиболовый | 5200—5600 | 2800—3600 | |
| Гранодиорит | 5700—6100 | 3000—3600 | |
| Кварцевый диорит | 5600—6200 | — | |
| Габбро и габбро-диорит | 6100—6800 | 3000—4100 | |
| Пироксенит | 6500—7800 | 3600—4300 | |
| Лепидолит | 7800—8300 | 4000—4500 | |
| Липарит | 4500—5200 | 2500—3400 | |
| Андезитиандезито- базальт | 4800—5900 | — | |
| Базальт | 5000—6200 | 2800—3600 | |
| Обсидиан | 5500—5900 | 3600—3800 |
2.5 Скорости упругих волн в осадочных породах
Сейсмоакустические свойства осадочных пород определяются.составом, пористостью, характером структурных связей, диагенезом пород и свойствами заполнителя порового пространства (таблица 2.5).
Таблица 2.5 - Сейсмоакустические свойства пород различных типов в
неводонасьтщенном состоянии вблизи дневной поверхности
| Породы | VP, м/с | VS,м/с | VS/VP | αP, м-1 (f=80÷110Гц) | αS, м-1 (f=50+80Гц) |
| Скальные слаботрещиноватые (гранитьт, песчакяки, извествяки) | 3500-5000 | 2000-3000 | 0,5-0,6 | 0,01-0,06 | 0,01-0,08 |
| Крупнообломочные и песчаные (галечники, гравий, песок) | 200-800 | 150-500 | 0,5-0,7 | 0,1-0,18 | 0,13-0,18 |
| Глинистые (суглвяки, глины) | 300-1800 | 100-400 | 0,1-0,5 | 0,08-0,19 | 0,1-0,21 |
В общем случае скорость продольных волн в осадочных породах изменяется от 300 до 7000 м/с. Отношение VВ/VР в водонаcыщенных глинах составляет 0,05 - 0,12, в песках - 0,07 - 0,2 (табл. 2.6).
Наибольшее влияние на сейсмоакустические свойства терригенных пород оказывают характер структурных связей и фазовый состав породы.
Максимальные значения скоростей продольных волн наблюдаются в уплотненных карбонатных породах (3500 - 5000 м/с), для них же характерны наиболее низкие значения коэффициентов поглощения αP и αS. При разрушении структурных связей значения скоростей продольных и поперечных волн уменьшаются. Резко усиливается влияние степени водонасыщенности. Влияние диагенеза в осадочных породах проявляется в консолидации осадков, уменьшении пористости, приводит к повышению скорости упругих волн.
Соотношение твердой, жидкой и газообразной фаз оказывает существенное влияние на сейсмоакустические свойства пород. Существует ряд теоретических и экспериментальных зависимостей, позволяющих оценить влияние пористости, трещиноватости. типа заполнителя пустот в скальных породах на скорость продольных волн. Широко применяется уравнение среднего времени, связывающее время распространения упругой волны в объеме породы со временем распространения волны в заполнителе пор и в скелете:
1/VP=KП/VРЗ+(1+ KП)/ VРТ (2.10)
где VP,VРЗ,VРТ- скорости распространения продольных волн соответственно в пористой среде, заполнителе и скелете, KП- коэффициент общей пористости.
Наиболее резко значение скорости продольных волн уменьшается в случае заполнения пор воздухом.
Таблица 2.6 - Скорости упругих волн для пород верхней части разреза
| Породьт | Состояние породы | VP, м/с | VS,м/с | VS/VP |
| Галечни ки Пески Супеси Суглинки Глины (включая коренные) Песчаники Известняки | Невлагонасыщенное | 400—800 200—500 250—550 3 00—600 400—1800 800—4000 1000—4500 | 250—500 150—300 120—280 100—250 100—400 500—2500 500—2800 | 0,60—0,70 0,50—0,70 0,45—0,60 0,30—0,55 о, 10—0,35 0,50—0,70 0,50—0,65 |
| Галечники Пески Супеси Счглинки Глины (включая коренные) Песчаники Известняки | Водонасышенное | 2000—2700 1500—2000 1450—1800 1500—1900 1800—2500 1800—4500 2000—5000 | 250—500 150—300 120—280 100—250 100—400 500—2500 500—2800 | 0,10—0,20 0,07—0,20 0,07—0,15 0,05—0 15 0,05—012 ‘ 0,40—0,60 0,35—0,55 |
| Галечяики Пески Супеси С’тлинки Глины Пеечаники Гiзвестняки | Влагонасыщенное при t = 300С | 3800—4800 3400—4000 2800—3500 2200—2800 1900—2300 3600—5000 3800—5500 | 2000—2600 1800—2200 1500—1900 1200—1500 800—1200 1900—2800 2000—3000 | 0,50—0,60 0,50—0,60 0,45—0,60 0,40—0.55 0,40—0,50 0,50—0,60 0,50—0,60 |
