Властивості визначника

3. Означення та формула для обчислення визначника трикутного вигляду (довести формулу для визначника 3- го порядку). Метод Гауса приведення визначника до трикутного вигляду та властивості визначника, які використовують при цьому.

4. Лінійні дії над матрицями. Рівність матриць. Додавання (віднімання) матриць. Множення матриці на число. Означення узгоджених матриць. Означення добутку двох матриць. Властивості добутку. Матричні многочлени.

5. Означення невиродженої матриці. Означення оберненої матриці. Правило обчислення оберненої матриці методом приєднаної матриці. Розв’язання матричних рівнянь методом оберненої матриці.

6. Означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), розв’язку СЛАР, сумісної та несумісної СЛАР, основної матриці системи, розширеної матриці системи, матриці вільних членів, матриці невідомих. Запис системи в вигляді матричного рівняння. Матричний метод розв’язку систем (метод оберненої матриці). Теорема Крамера.

7. Означення мінору к-го порядку та рангу матриці. Обчислення рангу матриці методом приведення її до східчастого вигляду (методом Гауса): означення елементарних перетворень матриці; еквівалентних матриць; теорема про ранг матриці при елементарних перетвореннях. Означення базисного мінору.

8. Означення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), сумісної та несумісної СЛАР, основної та розширеної матриці системи. Теорема Кронекера-Капеллі та її наслідки: 1)умови існування єдиного розв’язку СЛАР; 2) умови існування безлічі розв’язків СЛАР. Метод Гауса розв’язку СЛАР.

9. Означення вектора, довжини вектора, одиничного вектора, орта вектора, колінеарних та компланарни х векторів. Лінійні дії над геометричними векторами: 1) сума та різниця двох векторів (правило трикутника та правило паралелограма); 2) додавання векторів за правилом замкнення ламаної (правило замикача); 3)множення вектора на число.

10. Проекція вектора на вісь: означення, формула для обчислення, властивості.

11. Розклад вектора по ортам координатних осей в прямокутній декартовій системі координат (ПДСК), означення координат вектора в ПДСК. Обчислення довжини та напряму вектора заданого координатами в ПДСК: 1)формула довжини; 2) напрямні косинуси вектора: означення, формула для обчислення (довести), властивості.

12. Дії над векторами заданими координатами в ПДСК. Рівність векторів. Координати суми, різниці двох векторів, добутку вектора на число. Умова колінеарності двох векторів. Координати точки. Координати вектора з початком та кінцем .

13. Скалярний добуток векторів. Означення. Властивості. Формула для обчислення через координати векторів (довести). Застосування скалярного добутку: обчислення довжини вектора, кута між двома векторами, проекції вектора; умова перпендикулярності двох векторів; робота сили.

14. Векторний добуток векторів. Означення правої та лівої трійки векторів. Означення векторного добутку (з малюнком). Властивості. Формула для обчислення через координати векторів (довести). Застосування векторного добутку: обчислення площі паралелограма та трикутника (довести); обчислення вектора, перпендикулярного до двох заданих векторів.

15. Мішаний добуток. Означення. Властивості. Формула для обчислення через координати векторів. Застосування: умова компланарності трьох векторів; обчислення об’єму паралелепіпеда та трикутної піраміди; критерій правої та лівої трійки векторів.

16. Пряма на площині. Рівняння прямої, яка проходить через точку М₀(x₀; y₀), перпендикулярно до вектора N (A;B) (довести). Загальне рівняння прямої на площині, геометричний зміст коефіцієнтів А та В. Взаємне розташування двох прямих,заданих загальним рівнянням. Формула відстані від точки до прямої (довести).

17. Пряма на площині: 1) Канонічне рівняння прямої на площині (доведення); 2)Рівняння прямої, яка проходить через дві точки (доведення); 3) Параметричне рівняння прямої на площині (доведення); 4)Векторне параметричне рівняння прямої. 5) Рівняння прямої у відрізках.

18. Пряма на площині: 1) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом (доведення); 2) Рівняння прямої, яка проходить через точку М₀(х₀;у₀) і має заданий кутовий коефіцієнт к (доведення); 3)Взаємне розташування двох прямих заданих рівнянням з кутовим коефіцієнтом (умови паралельності та перпендикулярності прямих, кут між прямими з доведеннями).

19. Площина у просторі: 1)Рівняння площини, яка проходить через точку М₀(x₀; y₀;z₀), перпендикулярно до вектора N (A;B;С) (довести); 2) Загальне рівняння площини, геометричний зміст коефіцієнтів А,В,С. 3) Формула відстані від точки до площини; 4) Рівняння площини, яка проходить через три точки (доведення).

20. Пряма у просторі: 1) Канонічне рівняння прямої (довести), означення напрямного вектора прямої; 2) Параметричне рівняння прямої (довести); 3) Загальне рівняння прямої.

21. Еліпс та гіпербола. Означення, канонічне рівняння, графік та характеристики.