по учебному предмету «Математика»

(2016/2017 учебный год)

Класс

1. Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a²+ b² + c²= d². Доказать, что число abc делится на 4.

 

2. Решить уравнение в целых числах:

(x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³ = 30.

3. Постройте эскиз графика функции: .

 

4. На пост мэра баллотировались три кандидата. Кандидат А заявил: «Я умнее Б». Кандидат Б заявил: «Я честнее В». Кандидат В заявил: «Я богаче А». Известно, что самый богатый солгал, самый умный сказал правду, а самый честный был третий. Кто из кандидатов был самый богатый?

 

5. В равнобедренном треугольнике основание равно 8, боковая сторона 5. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

УТВЕРЖДЕНО

Приказ отдела образования,

спорта и туризма администрации

Октябрьского района г. Могилева

16.09.2016 № 247

 

ЗАДАНИЯ

ПЕРВОГО (ШКОЛЬНОГО) ЭТАПА РЕСПУБЛИКАНСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

По учебному предмету «Математика»

(2016/2017 учебный год)

Класс

1. Упростить выражение:

9 - ∙ : .

 

2. Пусть . Доказать, что .

 

3. Встретились несколько друзей. Каждый из них обменялся рукопожатием с каждым, кроме Федота Бурчеева, который, будучи не в духе, некоторым пожал руку, а некоторым – нет. Всего было сделано 197 рукопожатий. Сколько рукопожатий сделал Федот?

4. Докажите, что для любых x и y справедливо неравенство: sinxcosy+1≥sinx+cosy

5. В четырехугольнике АВСD углы А и С – прямые. Из точек В и D опустили перпендикуляры на диагональ АC и получили соответственно точки M и N. Докажите, что AM=CN.