Обработка результатов эксперимента

При выборе формы представления результатов эксперимента в детерминированных системах в первую очередь рассматривается степенная зависимость, как обладающую наибольшей простотой и возможностью варьирования значений коэффициентов и показателей, характеризующих объект. Если степенная форма дает неудовлетворительные результаты, то используется подбор типа эмпирической формулы y=f(x). В стохастических системах для поиска зависимости y=f(x) используется математический аппарат корреляционно-регрессионного анализа.

2. Полученные экспериментальные данные следует представить графически в логарифмической зависимости. Если меж-

где а=Аsinά, в=Аcosά.

6. В тех случаях, когда целью моделирования является определение случайной функциональной зависимости между параметрами объекта, её получают в результате специальной статистической обработки экспериментальных данных.

Допустим, по результатам эксперимента на модели необходимо найти зависимость параметра y от параметра x в виде y = f(x).

Для этого обработка полученных статистических данных ведётся в следующей последовательности.

1. Определяются статистические средние (оценки математических ожиданий) y и x по формулам:

, ,

где x_i и y_i – фактические результаты, полученные в ходе эксперимента.

2. Устанавливается функциональная зависимость между x и y.

Для дальнейшего упрощения поиска зависимости на основе корреляционно-регрессионного анализа она представляется в линейном виде

y = a₀ + a₁x.

Если искомая зависимость нелинейная, то её путём замены переменных необходимо свести к линейному виду.

Например, y = a₀ + a₁/x, заменить x’ = 1/x => y = a₀ + a₁x’,

y = a₀*e^a1x, заменить y = e^y1 => y₁ = ln a₀ + a₁x.

3. В полученной линейной зависимости определяется на сколько x и y линейно зависимы друг от друга. Оценку линейной зависимости производят с помощью коэффициента корреляции R

R = , где k_x_,_y – момент корреляции между x и y;

- средние квадратичные отклонения по x и y.

Коэффициент R в линейной зависимости изменяется от -1 до +1. Если R отрицательный, зависимость обратно пропорциональная; если R = 0, зависимость отсутствует.

Оценка коэффициента R на основе статистических данных определяется по формуле

Если по абсолютному значению окажется меньше 0,3, то зависимость между x и y слабая (). Если окажется, что , зависимость – сильная. В промежутке средняя зависимость.

Допустим, зависимость между x и y оказалась средняя и выше. В этом случае переходят к следующему пункту.

4. Определяется количественное значение коэффициентов а₀ и а₁ по методу наименьших квадратов. Для этого определяется сумма квадратов отклонений y_i экспериментального от теоретического значения (y_i = a₀ + a₁x_i) по формуле

Полученное значение Z является функцией двух коэффициентов а₀ и а₁. Их необходимо подобрать таким образом, чтобы истинное значение y_i мало отличалось от модельного значения y_i.= а₀+ а₁х_i _. А это значит, найти такие значения а₀, а₁, при которых Z принимала бы минимальное значение. Минимум функции Z можно найти из системы уравнений с частными производными

; .

Поиск а₀ и а₁осуществляется следующим образом. Дифференциальные уравнения записываются на основе полученных статистических данных в виде:

Из системы коэффициенты определяются по формулам:

; .

5. После того как значения коэффициентов определены, устанавливается их значимость в функциональной зависимости, т.е. определяется насколько их значение влияет на зависимость y=f(x). Значимость коэффициентов находится путём сравнения случайных величин t_ф с t_теор., где t_теор – теоретическая случайная величина, подчиняющаяся t-распределению и задана таблично для выбранной степени свободы V и уровня доверия ; фактическая величина t_ф для каждого из коэффициентов определяется по формуле

t_aj = , j – индекс коэффициента (j = 0,1).

Если окажется, что t_фt_теор., то соответствующий коэффициент незначителен и им можно пренебречь.

6. С учетом п. 5 окончательно записывается функциональная зависимость y = f(x).

Пример обработки результатов эксперимента. Допустим, что по результатам планирования эксперимента имеются статистические данные по факторам х₁, х₂ и отклику y, указанные в табл. 1.

Таблица 1