Кинетическая теория газов

Уравнение состояния идеального газа

Изучение эмпирических газовых законов (Р. Бойль, Ж. Гей-Люссак) постепенно привело к представлению об идеальном газе, поскольку обнаружилось, что давление данной массы любого газа при постоянной температуре обратно пропорционально объему, занимаемому этим газом, и термические коэффициенты давления и объема с высокой точностью совпадают для различных газов, составляя, по современным данным, 1/273 град^–1. Придумав способ графического представления состояния газа в координатах «давление – объем», Б. Клапейрон получил объединенный газовый закон, связывающий все три параметра:

PV = BT,

где коэффициент В зависит от вида газа и его массы.

Только через сорок лет Д. И. Менделеев придал этому уравнению более простой вид, записав его не для массы, а для единицы количества вещества, т. е. 1 кмоля.

PV = RT, (1)

где R – универсальная газовая постоянная.

Физический смысл универсальной газовой постоянной. R – работа расширения 1 кмоля идеального газа при нагревании на один градус, если давление не меняется. Для того, чтобы понять физический смысл R, представим себе, что газ находится в сосуде при постоянном давлении, и мы повысим его температуру на Δ T, тогда

PV ₁ = RT ₁, (2)

и

PV ₂ = RT ₂. (3)

Вычитая из (3) уравнение (2), получим

P (V ₂ – V ₁) = R (T ₂ – T ₁).

Если правая часть уравнения равна единице, т. е. мы нагрели газ на один градус, тогда

R = P Δ V

Поскольку P = F / S, а Δ V равно площади сосуда S, умноженной на высоту подъема его поршня Δ h, имеем

Очевидно, что справа получим выражение для работы, и это подтверждает физический смысл газовой постоянной.

Очень плодотворным в середине XIX века оказалось представление о молекулярном строении вещества. Когда была принята гипотеза А. Авогадро о том, что в киломоле любого вещества содержится одно и то же количество структурных единиц: 6,02 x 10²⁶ кмоля = 6,02 x 10²³ моля, поскольку молярная масса воды M(H₂O) = 18 кг/кмоль, следовательно, в 18 литрах воды находится столько же молекул, сколько в 22,4 м³ водяного пара. Это позволяет легко понять, что расстояние между молекулами газообразной воды (пара) значительно больше, в среднем на один порядок, чем в жидкой воде. Можно предположить, что это выполняется для любого вещества. Считая, что в газах молекулы движутся хаотически, можно вывести так называемое основное уравнение кинетической теории:

где Na – 6,02 x 10²⁶ кмоль = 6,02 x 10²³ моль – число Авогадро;

V_M – молекулярный объем = 22,4 м³;

m – масса одной молекулы;

v – скорость молекулы.

Преобразуем уравнение (4):

где E_k – энергия одной молекулы.

Видно, что справа стоит полная кинетическая энергия всех молекул. С другой стороны, сравнивая с уравнением Менделеева – Клапейрона, видим, что это произведение равно RT.

Это позволяет выразить среднюю кинетическую энергию молекулы газа:

где к = R / Na – постоянная Больцмана, равная 1,38 ґ 10–²³ кДж/кмоль. Зная кинетическую энергию молекулы, можно рассчитать ее среднюю скорость

Около 1860 г. Д. К. Максвелл вывел функцию, описывающую распределение молекул газа по скоростям. Эта функция имеет на графике вид характерной кривой с максимумом около наиболее вероятной скорости примерно 500 м/с. Важно заметить, что существуют молекулы со скоростями, превышающими этот максимум. С другой стороны, уравнение (6) позволяет сделать вывод об увеличении доли молекул с большими скоростями при нагревании газа. Спустя почти 60 лет гениальная догадка Д. К. Максвелла была подтверждена в опытах О. Штерна.