2014-01-31
708
Таблица 3. Зависимость коэффициента k от числа НСП
Таблица 2. Обозначения кратных и дольных единиц физических величин
Таблица 1. Основные единицы СИ
| Величина | Единица измерения | Сокращенное обозначение единицы | |
| русское | международное | ||
| Длина | метр | м | m |
| Масса | килограмм | кг | kg |
| Время | секунда | с | s |
| Сила электрического тока | ампер | А | А |
| Термодинамическая температура | кельвин | К | К |
| Сила света | кандела | кд | cd |
| Количество вещества | моль | моль | mol |
Метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 долю секунды.
Килограмм равен массе международного прототипа килограмма, который хранится в Международном бюро мер и весов.
Секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.
Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 0,000000020 Н.
Кельвин равен 1/273.16 части термодинамической температуры тройной точки воды.
Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0.012 кг. В одном моле любого вещества содержится число молекул или атомов равное числу Авогадро.
Кандела равна силе света, испускаемого в заданном направлении источником монохроматического излучения частотой 540˙1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср. До 1970 г. кандела называлась свечой.
Международная система единиц включает в себя две дополнительные единицы - для измерения плоского и телесного углов.
Радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, дуга между которыми по длине равна радиусу. В градусном исчислении радиан равен 57°17'48".
Стерадиан (ср), принимаемый за единицу телесного угла, - телесный угол, вершина которого расположена в центре сферы и который вырезает на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу сферы.
Производные единицы Международной системы единиц образуются из сочетания основных единиц с помощью простейших уравнений между величинами, в которых числовые коэффициенты равны единице.
Путем добавления к основным единицам установленных приставок образуются кратные (например - километр) или дольные (например - микрометр) единицы. Обозначения кратных и дольных единиц физических величин приведены в таблице 2.
| Множитель | Наименование | Обозначение | |
| Русское | Международное | ||
| 1024 | йота | И | Y |
| 1021 | зета | З | Z |
| 1018 | экса | Э | E |
| 1015 | пета | П | P |
| 1012 | тера | Т | T |
Продолжение табл.2
| Множитель | Наименование | Обозначение | |
| Русское | Международное | ||
| 109 | гига | Г | G |
| 106 | мега | М | M |
| 103 | кило | к | k |
| 102 | гекто | г | h |
| 101 | дека | да | da |
| 10-1 | деци | д | d |
| 10-2 | санти | с | c |
| 10-3 | милли | м | m |
| 10-6 | микро | мк | µ |
| 10-9 | нано | н | n |
| 10-12 | пико | п | p |
| 10-15 | фемто | ф | f |
| 10-18 | атто | а | a |
| 10-21 | зепто | з | z |
| 10-24 | йокто | и | y |
1.7. Понятие погрешности
В процессе развития метрологии сложилось понятие истинного значения физической величины.
Истинное значение физической величины - это значение, которое идеальным образом в качественном и количественном отношениях отражает соответствующее свойство объекта измерений. В практике измерений стремятся получить именно истинные значения физических величин. Однако, добиться этого невозможно из-за несовершенства процедуры измерений.
Процедура измерений состоит из следующих этапов:
1. Выбор объекта исследования (или его модели) и величины, подлежащей измерению;
2. Выбор метода измерений;
3. Выбор средств измерений;
4. Проведение измерительного эксперимента для получения численного значения физической величины.
Всем указанным этапам процедуры измерений присущи различного рода недостатки. Совокупное действие этих недостатков приводит к тому, что результат измерений всегда отличается от истинного значения.
Измеренное значение физической величины (результат измерений) - это значение, полученное при измерении с применением конкретных методов и средств измерений.
Отклонение результата измерений от истинного значения физической величины получило название погрешности измерений:
, (1.3)
где XИЗМ - измеренное значение; X - истинное значение, ΔX - погрешность измерений.
Поскольку истинное значение физической величины узнать невозможно, в метрологии было введено понятие действительного значения физической величины.
Действительное значение физической величины - это значение, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели может быть использовано вместо него. С учетом этого, погрешность измерений можно определить так:
, (1.4)
где XИЗМ - измеренное значение; XД - действительное значение, ΔX - погрешность измерений.
1.8. Формы выражения погрешности
Существуют три формы выражения погрешности: абсолютная, относительная и приведенная.
Абсолютная погрешность - это разность между измеренным (XИЗМ) и действительным (XД) значением физической величины:
. (1.5)
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.
Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности (ΔX) и действительного значения измеряемой величины (XД), выраженное в процентах:
. (1.6)
Приведенная погрешность - это отношение абсолютной погрешности (ΔX) и нормированного значения измеряемой величины (XN), выраженное в процентах:
(1.7)
За нормированное значение измеряемой величины обычно принимают диапазон измерения прибора:
XN = XК - XН, (1.8)
где XК и XН - соответственно конечное и начальное значение шкалы прибора.
1.9. Классификация погрешности измерений
По источнику возникновения погрешность подразделяется:
1. Инструментальную;
2. Методическую;
3. Субъективную.
Инструментальная погрешность - составляющая погрешности измерений, обусловленная несовершенством применяемых средств измерений. Эта погрешность возрастает по мере эксплуатации средства измерений за счет старения материалов и изменения их характеристик, износа трущихся деталей, и т.д.
Методическая погрешность - составляющая погрешности измерений, возникающая из-за несовершенства используемого метода измерений. Несовершенство метода может быть обусловлено недостаточным теоретическим обоснованием явления или эффекта, положенного в основу метода измерений, использованием упрощенных зависимостей при проведении расчетов и т.д.
Субъективная погрешность - составляющая погрешности измерений, обусловленная участием человека в процессе измерений. Человек является своеобразным звеном в измерительной системе и также обладает метрологическими характеристиками. Метрологические характеристики человека - оператора в основном зависят от двух факторов: условий, в которых человек производит измерения, и его физического состояния (утомленность, невнимательность и т.п.).
Таким образом, математическую модель погрешности измерений можно представить в виде:
(1.9)
где - Δinstr - инструментальная составляющая, Δmet - методическая составляющая, Δsub - субъективная составляющая погрешности измерений; символ " * " обозначает объединение составляющих погрешности измерений. Под объединением понимают некоторую операцию, позволяющую рассчитать погрешность, обусловленную совместным воздействием этих составляющих. Математически операция объединения инструментальной, методической и субъективной составляющих зависит от их структуры - соотношения в них систематических и случайных погрешностей; она базируется на математическом аппарате теории вероятностей.
По характеру поведения погрешность подразделяется на:
1. Систематическую;
2. Случайную;
3. Грубую.
Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерений, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. Отличительная особенность таких погрешностей состоит в том, что они могут быть обнаружены и исключены из результатов измерений путем введения поправок. Однако иногда систематические погрешности чрезвычайно трудно обнаружить. В этом состоит их особая опасность. Примером систематической погрешности может служить погрешность показаний прибора за счет смещения его стрелки. Другим примером систематических погрешностей могут служить погрешности, связанные с постепенным старением средств измерений. Эти погрешности называют прогрессирующими.
Случайной погрешностью называется составляющая погрешности измерений, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Случайные погрешности обусловлены действием различного рода факторов, изменяющихся во времени, неизвестных экспериментатору и трудно поддающихся контролю. Иногда причины возникновения случайной погрешности известны (например, действие внешних электромагнитных полей), но характер их изменения во времени также случаен. Такие погрешности трудно поддаются анализу. Для их описания используют математический аппарат теории вероятностей.
Грубая погрешность (промах) - это такая погрешность, которая существенно превышает по величине погрешность, ожидаемую при данных условиях. Примерами грубых погрешностей могут служить ошибки, допускаемые при считывании показаний приборов вследствие невнимательности экспериментатора, кратковременных сбоев в электропитании средств измерений и т.п. Грубые погрешности к рассмотрению не принимаются и исключаются из результатов наблюдений.
1.10. Полоса погрешности средств измерений
Погрешности средств измерений обусловлены их несовершенством и возрастают по мере эксплуатации из-за износа трущихся деталей, деформации упругих элементов, изменения характеристик электрических схем, и т.п.
В общем случае, средство измерений можно рассматривать как некоторый преобразователь, который преобразует входную величину (ХВХ) в выходную (ХВЫХ):
Каждому средству измерений предписывается (ставится в соответствие) так называемая номинальная функция преобразования.
Номинальная функция преобразования - это характеристика идеального средства измерений, работающего без погрешностей. Она отражает связь между входной и выходной величинами средства измерений. Номинальная функция преобразования указывается в паспорте средства измерений. У всех однотипных средств измерений номинальная функция преобразования одна и та же.
В то же время, каждое средство измерений имеет свою, реальную функцию преобразования, отличную от номинальной. У всех средств измерений, в том числе и однотипных, реальные функции преобразования различны. Эти отличия являются следствием индивидуальных погрешностей конкретных средств измерений.
Пример номинальной и реальной функций преобразования средства измерений изображен на следующем рис1.4:
Если на одном графике изобразить реальные функции преобразования множества однотипных средств измерений, то получим некоторую полосу, которая получила название полосы погрешности: 
За номинальную функцию преобразования принимают некоторую среднюю линию (выделена пунктиром).
Полоса погрешности показывает, что при одном и том же значении измеряемой величины (ХВХ1) значение результата измерений у средств измерений одного и того же типа с определенной вероятностью будет находиться в диапазоне
(XВЫХ1-Δ; XВЫХ1+Δ), (1.10)
где Δ - погрешность измерения, ХВЫХ1 – значение выходной величины средства измерения, соответствующее ХВХ1.
Необходимо отметить, что Δ - это диапазон вероятных значений погрешности средств измерений данного типа. У каждого конкретного средства измерений погрешность индивидуальна; в частном случае она может быть равной нулю.
Условно можно определить и границы полосы погрешности. В зависимости от вида границ полосы погрешности, различают аддитивную, мультипликативную и аддитивно-мультипликативную погрешности.
Аддитивная погрешность - это такая погрешность, диапазон вероятных значений которой не зависит от значения измеряемой величины (ХВХ):
Δ = ± a, (1.11)
где a=const.
Мультипликативная погрешность - это такая погрешность, диапазон вероятных значений которой возрастает по мере увеличения измеряемой величины, начинаясь с нуля:
Δ = ± bXВХ, (1.12)
где b=tg(α).
Аддитивно-мультипликативная погрешность – представляет собой комбинацию двух предыдущих погрешностей:
Δ = ±(a+bXВХ), (1.13)
a, b = const.
1.11. Классификация погрешностей средств измерений
В составе погрешности средства измерения выделяют:
1. Основную составляющую;
2. Дополнительную составляющую;
3. Динамическую составляющую;
4. Составляющую, обусловленную взаимодействием средства измерений и измеряемой величины.
Основная составляющая погрешности – это составляющая, определенная в нормальных условиях эксплуатации.
Любое средство измерений находится под воздействием различного рода факторов, изменяющихся во времени. Одним из таких факторов является измеряемая физическая величина. В качестве других факторов можно рассматривать величины, характеризующие окружающую среду:
1. температуру, давление, влажность окружающего воздуха;
2. напряжение и частоту питающей электрической сети;
3. параметры внешних электромагнитных полей;
4. параметры внешних механических воздействий (вибрация, шум) и др.
Эти факторы получили название влияющих величин.
Влияющая величина - это величина, не подлежащая измерению, но оказывающая воздействие на результат измерений.
От средства измерений требуется, чтобы из всего многообразия действующих на него факторов оно выделяло единственный - измеряемую величину. Однако, действие других факторов (влияющих величин) полностью исключить невозможно.
Изготовление, настройка, поверка и градуировка средств измерений осуществляется в так называемых лабораторных условиях, когда изменение влияющих величин происходит в очень узких пределах:
1. температура 20±5 оС;
2. давление 750±30 мм.рт.ст.;
3. влажность 60±15%;
4. напряжение 220±5 В.
Эти условия получили название нормальных условий эксплуатации.
В составе основной погрешности выделяют:
1) систематическую составляющую;
2) случайную составляющую;
3) составляющую, обусловленную гистерезисом (вариацию).
Систематическая составляющая основной погрешности остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.
Случайная составляющая основной погрешности изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.
Вариация - это составляющая основной погрешности, вызванная тем, что реальная характеристика преобразования средства измерений ведет себя по-разному при увеличении (линия 1) и при уменьшении (линия 2) измеряемой величины:
Реальные (рабочие) условия эксплуатации средства измерений могут существенно отличаться от нормальных. Это приводит к дополнительному отклонению реальной функции преобразования средства измерений от номинальной, т.е. является причиной дополнительной погрешности.
Дополнительная составляющая погрешности – это составляющая, обусловленная отклонением какой-либо влияющей величины от своего нормального значения.
Динамическая составляющая погрешности средства измерений - это составляющая, обусловленная тем, что инерционные свойства средства измерений не соответствуют скорости изменения измеряемой величины.
На рис. 1.11 представлены графики изменения входного и выходного сигнала средства измерений во времени.
Любое средство измерений обладает некоторой инерцией, т.е. запаздыванием реакции на изменение входного сигнала.
Составляющая, обусловленную взаимодействием средства измерений и измеряемой величины. В практике измерений распространенным является случай, когда средство измерений может оказывать влияние на измеряемую величину. Значение измеряемой величины может измениться из-за установки средства измерений. Например, при измерении напряжения вольтметром с конечным сопротивлением, измеряемое напряжение может измениться (вследствие шунтирования участка цепи прибором). Классификация погрешностей средств измерений приведена на рис. 1.12.
1.12. Аналитическое оценивание составляющих погрешности средства измерений
Аналитическое определение погрешности производится по паспортным данным средства измерений, без проведения каких-либо экспериментов.
Погрешность средства измерений включает в себя:
1) основную составляющую;
2) дополнительную составляющую;
3) динамическую составляющую;
4) составляющую, обусловленную взаимодействием с объектом измерений.
Процедура аналитического оценивания погрешности заключается в определении характеристик (математических ожиданий и среднеквадратических отклонений) всех перечисленных составляющих инструментальной погрешности, и в расчете доверительного интервала инструментальной погрешности - т.е. интервала, в котором указанная погрешность находится с заданной вероятностью, равной 95%.
Определение характеристик основной составляющей инструментальной погрешности.
Математическое ожидание основной составляющей инструментальной погрешности:
. (1.14)
Среднеквадратическое отклонение основной составляющей инструментальной погрешности:
. (1.15)
Определение характеристик дополнительной составляющей инструментальной погрешности.
Математическое ожидание дополнительной составляющей инструментальной погрешности:
, (1.16)
где 
и 
- соответственно нижняя и верхняя границы дополнительной погрешности, вызванной отклонением 
влияющей величины от своего нормального значения; N - количество влияющих величин, отклонившихся от своего нормального значения.
Среднеквадратическое отклонение дополнительной составляющей инструментальной погрешности:
. (1.17)
Определение характеристик динамической составляющей инструментальной погрешности.
Математическое ожидание динамической составляющей инструментальной погрешности:
(1.18)
Среднеквадратическое отклонение динамической составляющей инструментальной погрешности:
, (1.19)
где τ - запаздывание средства измерений, Т - период колебания параметра, XN - нормированное значение измеряемой величины (диапазон измерения).
Определение характеристик составляющей инструментальной погрешности, обусловленной взаимодействием с объектом измерения.
Способы оценки характеристик составляющей инструментальной погрешности, обусловленной взаимодействием с объектом измерения, зависят от характера этого взаимодействия и от характеристик средства измерений, отражающих его способности к этому взаимодействию. Например, при измерении температуры пара эта погрешность может быть обусловлена торможением потока пара, отводом тепла по арматуре термоприемника, лучистым теплообменом и другими причинами. Дать общие рекомендации по оценке значения величины Δint не представляется возможным.
Определение характеристик инструментальной погрешности.
Математическое ожидание инструментальной погрешности:
. (1.20)
Среднеквадратическое отклонение инструментальной погрешности:
. (1.21)
Доверительный интервал инструментальной погрешности:
. (1.22)
1.13. Метрологические показатели и характеристики средств измерений
При выборе средств измерений необходимо учитывать их метрологические показатели. К ним относятся:
1. Длина деления шкалы – это расстояние между серединами двух соседних отметок шкалы;
2. Цена деления шкалы – это разность значений величин, соответствующих двум соседним отметкам шкалы;
3. Функция преобразования – зависимость между входной и выходной величинами средства измерения;
4. Диапазон показаний – область значений шкалы, ограниченная конечным и начальным ее значениями;
5. Диапазон измерений – область значений измеряемой величины, в пределах которой нормированы допускаемые пределы погрешности средства измерений;
6. Чувствительность средства измерений – это отношение изменения сигнала на выходе к изменению сигнала на входе средства измерения;
7. Вариация – это наибольшая разность между показаниями прибора при измерении одной и той же величины;
8. Стабильность средства измерений – это свойство, выражающее стабильность его метрологических характеристик во времени.
Метрологические характеристики - это характеристики, предназначенные для оценки качества средств измерений (СИ) и характеристик инструментальной составляющей погрешности СИ.
Индивидуальные характеристики погрешности однотипных средств измерений (СИ) отличаются друг от друга. Поэтому, для однотипных СИ устанавливают предельные (максимально допустимые) значения характеристик погрешности, одинаковые для всех СИ данного типа. Полученные таким образом характеристики получили название нормируемых метрологических характеристик. Они указываются в паспортах СИ.
ГОСТ 8.401-80 (Классы точности средств измерений. Общие положения) предусматривает нормирование следующих величин:
1. пределов допускаемой основной погрешности (ΔOP) и соответствующих нормальных условий эксплуатации;
2. пределов допускаемой дополнительной погрешности (ΔCP) и соответствующих диапазонов изменения влияющих величин;
3. пределов допускаемой вариации (HP).
Нормирование основной составляющей инструментальной погрешности.
Предельное значение основной составляющей инструментальной погрешности указывается в виде класса точности на шкале средства измерений.
1. Если погрешность средства измерений мультипликативная:
ΔO = ± bXД, (1.23)
то класс точности S равен предельному значению основной относительной погрешности:
. (1.24)
В этом случае класс точности указывается на шкале прибора в круге.
Пример:
|
2. Если погрешность средства измерений аддитивная:
ΔO = ± a, (1.25)
то класс точности S равен предельному значению основной приведенной погрешности:
. (1.26)
В этом случае класс точности указывается на шкале прибора без каких - либо дополнительных обозначений.
Пример:
1,5.
3. Если погрешность средства измерений аддитивно - мультипликативная:
Δ = ±(a+bXД), (1.27)
то класс точности S вычисляется по следующему выражению:
, (1.28)
где
, (1.29)
c = b + d, (1.30)
XК - верхний предел измерения прибора.
В этом случае класс точности указывается на шкале прибора в виде отношения c/d.
Пример:
0,5/1,5.
Кроме предельного значения основной составляющей инструментальной погрешности нормируются и нормальные условия эксплуатации.
Пример:
Преобразователь предназначен для работы в диапазоне температур от +1 до +50 оС;
электрическое питание осуществляется от источника постоянного питания напряжением (360 ± 0,72) В;
и т.д.
Нормирование дополнительной составляющей инструментальной погрешности.
Пределы допускаемой дополнительной погрешности (ΔCP) могут устанавливаться по-разному.
1. В виде постоянного значения для каждого из поддиапазонов изменения влияющих величин.
Пример:
Значение дополнительной погрешности милливольтметра, вызванной отклонением температуры окружающего воздуха (t) от нормального значения, не превышает:
ΔCP(t)=0,05 мВ, при отклонении температуры на 10 оС;
ΔCP(t)=0,08 мВ, при отклонении температуры на 20 оС;
и т.д. для каждой из влияющих величин.
2. В виде функции от влияющей величины.
Пример:
Значение дополнительной погрешности автоматического моста, вызванной отклонением напряжения питающей электрической сети (U) от нормального значения, не превышает:
ΔCP(U) = 0.07(U-220) Ом,
и т.д. для каждой из влияющих величин.
Нормирование вариации.
Предельное значение вариации устанавливается, как правило, в виде постоянного значения НP.
Пример: Вариация выходного сигнала преобразователя во всем диапазоне измерения не превышает 1%.
1.14. Метрологическая надежность средств измерения
Метрологическая надежность - это способность средства измерений сохранять установленные значения метрологических характеристик в течении определенного времени при нормальных режимах и рабочих условиях эксплуатации. Она характеризуется интенсивностью отказов, вероятностью безотказной работы и наработкой на отказ.
Интенсивность отказов определяется выражением:
, (1.31)
где L – число отказов;
N – число однотипных элементов;
Δt – промежуток времени.
Для средства измерения, состоящего из n типов элементов, интенсивность отказов составит:
, (1.32)
Где mi – количество элементов i-го типа.
Вероятность безотказной работы
. (1.33)
Наработка на отказ
. (1.34)
Для внезапного отказа, интенсивность которого не зависит от времени работы средства измерения:
Λсум(t) = Λсум = const, (1.35)
P(t) = exp(-Λсумt); Tср = L/ Λсум. (1.36)
Межповерочный интервал, в течение которого обеспечивается вероятность безотказной работы:
, (1.37)
где Pмо – вероятность метрологического отказа за время между поверками.
1.15. Практическое оценивание погрешности прямых измерений при однократных наблюдениях
При экспериментальном определении погрешности измерений, схема которого представлена на рисунке, периодически (условно с помощью ключа К) к рабочему средству измерений (РСИ) подключают образцовое средство измерений (ОСИ). Так, например, поступают при периодической поверке средств измерений, находящихся в эксплуатации.
Результат измерения, полученный при помощи рабочего средства измерений:
Xизм1 = X+Δ1. (1.38)
Результат измерения, полученный при помощи образцового средства измерений:
Xизм2 = X+Δ2. (1.39)
Вычитая из первого выражения второе, получим:
Xизм1 - Xизм2 = Δ1- Δ2. (1.40)
Так как погрешность образцового средства измерений много меньше, чем у рабочего:
Δ2 << Δ1, (1.41)
то ее значением можно пренебречь.
Таким образом, при практическом оценивании погрешности за погрешность рабочего средства измерений принимают разность результатов измерений рабочего и образцового средств:
Xизм1 - Xизм2 ≈ Δ1. (1.42)
1.16. Оценивание погрешности прямых измерений с однократными наблюдениями
За результат измерения в этом случае принимают результат однократного наблюдения X (с введением поправки, если она имеется), используя предварительно полученные данные об источниках погрешности.
Определение границ неисключенной систематической погрешности.
Систематическая составляющая погрешности может быть выявлена и устранена путем введения поправок. Однако, полностью исключить ее не удается, т.е. результат измерений будет содержать неисключенную систематическую погрешность, которая, в общем случае, складывается из m составляющих
Доверительные границы неисключенной систематической погрешности (НСП) Θ(P) вычисляют по формуле
, (1.43)
Где k(P) – коэффициент, определяемый принятой вероятностью P и числом составляющих НСП m; Θj – границы j-ой составляющей НСП (границы интервала, внутри которого находится эта составляющая, определяемые при отсутствии сведений о вероятности ее нахождения внутри этого интервалавнутри этого интервала).
При p=0,9 и P=0,95 k(P) равен 0,95 и 1,1 соответственно при любом числе слагаемых m.
При P=0,99 k(P) зависит от m:
| m | k(P) | m | k(P) |
| >5 | 1,45 | 1,3 | |
| 1,4 | 1,2 |
Если составляющие НСП распределены равномерно и заданы доверительными границами Θj(Pj), то границу НСП результата измерения вычисляют по формуле
, (1.44)
где Θj – границы интервала, в котором с вероятностью Pj находится j-тая составляющая НСП; kj – коэффициент, соответствующий Pj и m; Θ(P) – границы интервала, в котором с вероятностью P находится НСП; k(P) – коэффициент, соответствующий P и m.
Определение СКО случайной составляющей погрешности.
Случайная составляющая погрешности может состоять из нескольких (n) составляющих – основной, дополнительной, динамической, и т.д.
1. Если в паспорте СИ или в МВИ указаны нормально распределенные составляющие случайной погрешности, то СКО вычисляют по формуле
, (1.45)
где Si(X) – СКО i-ой составляющей случайной погрешности; n – число составляющих случайной погрешности.
Доверительную границу случайной погрешности ε(P) в этом случае вычисляют по формуле
, (1.46)
где zP/2 – нормированное значение функции Лапласа в точке P/2 при доверительной вероятности P:
Таблица 4. Зависимость коэффициента zP/2 от P
| P | zP/2 | P | zP/2 |
| 0,9 | 1,65 | 0,97 | 2,17 |
| 0,95 | 1,96 | 0,98 | 2,33 |
| 0,96 | 2,06 | 0,99 | 2,58 |
2. Если случайные составляющие погрешности представлены границами εi(P) при одной и той же доверительной вероятности P, то доверительную границу случайной погрешности ε(P) вычисляют по формуле
. (1.47)
3. Если случайные составляющие погрешности представлены границами εi(P) соответствующими разным доверительным вероятностям Pi, то сначала вычисляют СКО случайной погрешности S(X) по формуле
, (1.48)
где zPi/2 – значение функции Лапласа в точке Pi/2;
затем вычисляют доверительную границу случайной погрешности по формуле
. (1.49)
4. Если СКО составляющих случайной погрешности определены экспериментально, при проведении l опытов, то доверительную границу случайной погрешности вычисляют по формуле
, (1.50)
Где t – коэффициент Стьюдента, соответствующий l.
Суммирование систематической и случайной погрешности.
1. Если Θ(P)/S(X) < 0,8 то систематической погрешностью пренебрегают, и за погрешность результата измерения Δ(P) принимают доверительную границу случайной погрешности ε(P).
2. Если Θ(P)/S(X) > 8 то случайной погрешностью пренебрегают, и за погрешность результата измерения Δ(P) принимают доверительную границу неисключенной систематической погрешности Θ(P).
3. Если 0,8 < Θ(P)/S(X) < 8, то доверительную границу погрешности вычисляют по формуле
Δ(P)=KΣ(γ)[ Θ(P)+ε(P)], (1.51)
где
, (1.52)
. (1.53)
1.17. Оценивание погрешности прямых измерений с многократными наблюдениями
Пусть проведено n измерений величины X (x1, x2, … xi…xn). Тогда обработку результатов производят в следующей последовательности.
1. Вычисляют среднее арифметическое значение результатов наблюдений по формуле
. (1.54)
2. Вычисляют оценку СКО величины X:
. (1.55)
3. Исключают промахи, для чего находят нормированное выборочное отклонение нормального распределения z(P,n).
Если 
, то данное значение xi является промахом.
После исключения всех промахов пересчитывают среднее значение результатов и оценку СКО.
4. За результат измерений с многократными наблюдениями принимают средне арифметическое значение 
.
5. За СКО результата измерений принимают
. (1.56)
6. Доверительные границы случайной погрешности определяют по формуле
. (1.57)
7. Доверительные границы неисключенной систематической погрешности (НСП) Θ(P) вычисляют по формулам
, (1.58)
или
. (1.59)
7. Суммирование систематической и случайной погрешности производят по тем же выражениям, что и для однократного наблюдения, заменяя в формулах S(X) на 
.
1.18. Оценивание погрешности косвенных измерений с однократными наблюдениями.
Значение измеряемой величины Q находят по результатам прямых измерений величин x1, x2, …xi,…xn, связанных с искомой величиной уравнением
Q=f(x1, x2, …xi,…xn). (1.60)
Косвенное измерение при линейной зависимости.
Искомая величина Q связана с аргументами уравнением вида
, (1.61)
где ai – постоянные коэффициенты.
Предполагается, что корреляция между погрешностями измерения величин xi отсутствует.
Результат измерения Q вычисляют по формуле
, (1.62)
где 
- результат измерения xi с введенными поправками. Оценку СКО результата измерения вычисляют по формуле
, (1.63)
где 
- оценка СКО результата измерения 
.
Доверительные границы ε(P) случайной погрешности Q вычисляют по формуле
, (1.64)
где 
- коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P и эффективному числ наблюдений nэф, вычисляемому по формуле
, (1.65)
где ni – число измерений при наблюдении xi.
Доверительные границы неисключенной систематической погрешности (НСП) Θ(P) косвенного измерения, а также сумму Θ(P) и ε(P) для получения Δ(P) проводят по тем же формулам, что и для прямых измерений, заменяя m, Θj и S(X) соответственно на n, aiΘi и S(Q).
Косвенное измерение при нелинейной зависимости.
При нелинейной зависимости, функцию Q=f(x1, x2, …xi,…xn) раскладывают в ряд Тейлора:
, (1.66)
где 
- погрешность отдельного результата наблюдения.
Результат измерения Q вычисляют по формуле
. (1.67)
Оценку СКО случайной погрешности косвенного наблюдения вычисляют по формуле
, (1.68)
а значение ε(P) – как и в предыдущем случае.
Значение nэф, Θ(P) и Δ(P) находят так же, как и в предыдущем случае, заменяя в формулах ai на 
.
1.19. Оценивание погрешности измерительных каналов
Любой измерительный канал (ИК) принципиально можно представить в следующем виде:
Для каждого средства измерений (измерительного преобразователя Иi, входящего в измерительный канал), можно вычислить характеристики погрешностей измерений Δi: математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение, доверительный интервал, в котором погрешность измерений находится с заданной вероятностью.
В этом случае, предполагая номинальные статистические характеристики преобразования всех измерительных преобразователей линейными, получим:
(1.69)
откуда
, (1.70)
где
. (1.71)
Так как погрешности Δi измерительных преобразователей Иi являются случайными величинами, то вычислить суммарную погрешность простым арифметическим суммированием значений нельзя, поскольку это приведет к чрезвычайно завышенной ее оценке.
Введем в рассмотрение относительные погрешности:
. (1.72)
Тогда систему уравнений для номинальных статических характеристик преобразования измерительных преобразователей можно представить в виде:
(1.73)
Из данной системы находим:
. (1.74)
Возведем левую и правую части этого уравнения в квадрат и усредним. В результате получим:
(1.75)
где второй член правой части уравнения означает математическое ожидание произведения (корреляционный момент) двух случайных величин δi и δj.
Так как
, (1.76)
то
. (1.77)
Таким образом, СКО погрешности измерительного канала зависит не только от погрешности средств измерений, входящих в измерительный канал, но и от корреляционных связей между ними.
Определение нормированного корреляционного момента довольно сложная задача. Поэтому на практике поступают следующим образом:
1. По степени коррелированности погрешности разделяют на два вида: сильнокоррелированные (rij=0,7-1) и слабокоррелированные (rij=0-0,7). К первой группе относят погрешности, которые вызваны одной и той же причиной (общий источник питания, общие температурные и магнитные поля и т.д.) и корреляционные связи между которыми просматриваются логически. Для них принимают rij = 1. Ко второй группе относят погрешности, между которыми логические связи просматриваются слабо. Для этой группы погрешностей принимают rij = 0.
2. Сильнокоррелированные погрешности суммируют по выражению:
, (1.78)
где M – количество средств измерений, погрешности которых сильно коррелированы.
3. Слабокоррелированные погрешности суммируют по выражению:
, (1.79)
где K количество средств измерений, погрешности которых не коррелированы.
4. СКО относительной погрешности измерительного канала находят по выражению
. (1.80)
5. Доверительный интервал, в котором с вероятностью P=0,95 находится погрешность измерительного канала, принимается равным 
.
1.20. Правила написания единиц физических величин
1. Точку как знак сокращения в обозначениях не ставят.
Пример:
"Параметры сети U=220 В., f=50 Гц. - соответствуют норме" - Неправильно (после обозначения единиц физических величин поставлены точки).
"Параметры сети U=220 В, f=50 Гц - соответствуют норме" - Правильно.
2. Обозначения располагаются на одной строке с числовым значением справа от числового значения через пробел.
3. Переносы единиц запрещены.
4. Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение измеряемых единиц разделяются точкой на средней линии.
Пример:
5. В обозначениях единиц, получаемых делением одних единиц на другие, допускается использовать только одну дробную черту (горизонтальную или наклонную).
Пример:
Если используется наклонная черта, то произведение единиц в знаменателе заключается в круглые скобки.
Пример:
В случае использования горизонтальной (либо наклонной) дробной черты, произведение единиц в числителе и знаменателе дроби пишется в одну строку.
6. Допускается использовать обозначение в виде произведения единиц, возведенных в соответствующие степени.
Пример:
1.21. Правила округления значений погрешности и результата измерений
1. Погрешность результата измерений указывается двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной - если первая цифра равна или больше 3.
Пример1:
Δ = 1 оС- неправильно, т.к. первая значащая цифра (1) меньше 3, а вторая значащая отсутствует;
Δ = 1,0 оС - правильно.
Пример2:
Δ = 8,7 оС - неправильно, т.к. первая значащая цифра (8) больше 3, а вторая значащая присутствует;
Δ = 9 оС - правильно.
2. Результат измерений округляется до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности.
Пример:
T = (350 ± 2,5 оС) - неправильно, т.к. погрешность измерений (2,5 оС) округлена до десятых долей, а результат измерений (350 оС) - до целых;
- правильно.
T = (350,0 ± 2,5 оС)
3. Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним или двумя лишними знаками.
1.22. Правила записи результатов измерений.
Согласно ГОСТ 8.011-78 результат измерения может быть представлен в одной из следующих форм.
1. Если характеристики систематической и случайной составляющей инструментальной погрешности неизвестны, а известен только интервал, в котором с установленной вероятностью находится суммарная погрешность средства измерений, то результат записывается в следующем виде:
A; Δ от Δн до Δв; P.
где А - результат измерений; Δ - погрешность измерений; Δн, Δв - соответственно нижняя и верхняя граница погрешности измерений в единицах измеряемой величины; Р - установленная вероятность, с которой погрешность измерений находится в интервале от Δн до Δв.
Пример:
121 оС; Δ от -3 до +3 оС; P = 0,95.
2. Если характеристики систематической и случайной составляющей инструментальной погрешности известны, то результат записывается в следующем виде:
A; Δs от Δsн до Δsв; Ps; 
, 
где А - результат измерений; Δs - систематическая составляющая инструментальной погрешности; Δsн, Δsв - соответственно нижняя и верхняя границы систематической составляющей инструментальной погрешности; Рs -заданная вероятность, с которой систематическая составляющая погрешности находится в этих границах; - оценка среднего квадратического отклонения случайной составляющей инструментальной погрешности; - закон распределения случайной составляющей инструментальной погрешности.
Пример:
10,75 м3/с; Δs от 0,15 до 0,23 м3/с; Ps = 0,95; 
1.23. Выбор средств измерений по допустимой погрешности измерений
Выбор средства измерения производят по допустимой погрешности средства измерений, которая зависит от допустимой погрешности измерений. При отсутствии рекомендаций в нормативно-технической документации допустимую погрешность средства измерений вычисляют по формуле
Δси =0,33Δизм, (1.81)
где Δизм - допустимая погрешность измерений; Δси - допустимая погрешность средства измерений.
Начальное и конечное значение шкалы выбирают из условия:
Xн < Xmin - Δси;
Xк > Xmax - Δси,
где Xmin и Xmax - минимальное и максимальное значение измеряемой величины; Xн и Xк – начальное и конечное значение шкалы средства измерения.
1.24. Обеспечение единства измерений
Государственная система обеспечения единства измерений (ГСИ) - комплекс установленных стандартами и взаимоувязанных правил, положений, требований и норм, определяющих организацию и методику проведения работ по оценке и обеспечению требуемой точности измерений.
Единство измерений - состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах величин и погрешности измерений не выходят за установленные границы с заданной вероятностью.
Правовой основой обеспечения единства измерений служит законодательная метрология, которая представляет собой свод государственных актов и нормативно-технических документов различного уровня, регламентирующих метрологические правила, требования и нормы.
Технической основой ГСИ являются:
1. Система государственных эталонов единиц физических величин - эталонная база страны.
2. Система передачи размеров единиц физических величин от эталонов ко всем СИ.
1. З. Система разработки, постановки на производство и выпуска в обращение рабочих СИ, обладающих требуемой точностью.
3. Система государственных испытаний СИ (утверждение типа СИ), предназначенных для серийного производства или ввоза из-за границы партиями.
4. Система государственной и ведомственной метрологической аттестации, поверки и калибровки СИ.
5. Система стандартных образцов состава и свойств веществ и материалов.
6. Система стандартных справочных данных о физических константах и свойствах веществ и материалов.
Воспроизведение единиц физических величин осуществляется национальными метрологическими лабораториями при помощи национальных эталонов.
Различают централизованное и децентрализованное воспроизведение единиц. При децентрализованном единицы воспроизводятся там, где выполняются измерения. При централизованном информация передается с места хранения и воспроизведения единиц.
Основные единицы (секунда, метр, килограмм, кельвин, кандела, ампер и моль) воспроизводятся только централизованно.
Различают первичные и вторичные эталоны.
Первичный эталон - эталон, воспроизводящий единицу физической величины с наивысшей точностью, возможной в данной области измерений на современном уровне научно-технических достижений. Первичный эталон может быть национальным (государственным) и международным.
Вторичный эталон - эталон, получивший размер единицы путем сличений с первичным эталоном рассматриваемой величины:
Эталон - копия - вторичный эталон, предназначенный для передачи размера единицы рабочим эталоном. Обычно эталоны-копии создаются при большом количестве поверочных работ с целью предохранения первичного от преждевременного износа.
Рабочий эталон - вторичный эталон, применяемый для передачи размера единицы образцовым средствам измерений высшей точности.
Эталон-свидетель - вторичный эталон, предназначенный для проверки сохранности неизменности государственного эталона и для его замены в случае порчи или утери.
Необходимыми признаками эталона являются:
Неизменность эталона - свойство эталона удерживать неизменным размер воспроизводимой им единицы в течение длительного времени;
Воспроизводимость эталона - возможность воспроизведения единицы физической величины с наименьшей погрешностью для современного уровня развития измерительной техники;
Сличаемость эталона - возможность обеспечения сличения с эталоном других средств измерений, нижестоящих по поверочной схеме.
Государственный эталон единицы величины - эталон единицы величины, признанный решением уполномоченного на то государственного органа в качестве исходного на территории Российской Федерации.
Использование для градуировки, аттестации и поверки средств измерений непосредственно государственных эталонов не допускается.
По государственным эталонам устанавливаются значения физических величин вторичных эталонов. От вторичных эталонов информацию о размере единицы получают нижестоящие рабочие эталоны, от рабочих эталонов – образцовые средства измерений. Не допускается использование рабочих средств измерений для передачи информации о размере единицы другим средствам измерений.
На каждой ступени передачи информации точность теряется, т.е. при многоступенчатой передаче эталонная точность не доходит до рабочих средств измерений. Поэтому, для высокоточных средств измерений число ступеней может быть сокращено вплоть до передачи им информации о размере единицы непосредственно от эталона-копии.
Международные эталоны хранит и поддерживает Международное бюро мер и весов (МБМВ). Важнейшая задача деятельности МБМВ состоит в систематических международных сличениях национальных эталонов крупнейших метрологических лабораторий разных стран с международными эталонами, а также и между собой, что необходимо для обеспечения достоверности, точности и единства измерений как одного из условий международных экономических связей.
Сличению подлежат как эталоны основных величин системы СИ, так и производных. Установлены определенные периоды сличения. Например, эталоны метра и килограмма сличают каждые 25 лет, а электрические и световые эталоны - один раз в 3 года.
Стандартные образцы состава и свойств веществ и материалов - это образцы веществ и материалов, химический состав или физические свойства которых типичны для данной группы веществ (материалов), определены с необходимой точностью, отличаются высоким постоянством и удостоверены сертификатом.
Стандартные образцы используются для градуировки, поверки и калибровки химического состава и различных свойств материалов. Они могут применяться непосредственно для контроля качества сырья и промышленной продукции путем сличения.
В России действует Государственная служба стандартных образцов (ГССО) в составе НПО ВНИИМ им д. И. Менделеева.
1.25. Поверка и калибровка средств измерений
Правильность и точность заложенной в средства измерений информации о размере единиц устанавливается при утверждении типа средств измерений. Сохранность этой информации контролируется при первичной и всех последующих поверках средств измерений.
Поверка средств измерений – совокупность операций, выполняемых органами государственной метрологической службы с целью определения и подтверждения соответствия средства измерений установленным требованиям.
Средства измерений, подлежащие метрологическому контролю и надзору, подвергаются поверке при выпуске из производства или ремонта, при ввозе по импорту, при продаже и выдаче на прокат, а также при эксплуатации.
Поверку средств измерений осуществляют органы государственной метрологической службы (ГМС), государственные научные метрологические центры (ГНМЦ), а также аккредитованные метрологические службы юридических лиц.
Поверка проводится физическим лицом, аттестованным в качестве поверителя, по нормативным документам, утверждаемым по результатам испытаний с целью утверждения типа. Если средство измерений по результатам поверки признано пригодным к применению, то на него и техническую документацию наносится оттиск поверительного клейма и выдается свидетельство о поверке. Если по результатам поверки средство измерений признано не пригодным к применению, то оттиск поверительного клейма и свидетельство о поверке аннулируются и выписывается извещение о непригодности.
Существуют следующие виды поверок:
Первичная поверка - проводится при выпуске средств измерений из производства, после ремонта, при ввозе из-за границы.
Периодическая поверка проводится для средств измерений, находящихся в эксплуатации, через определенные межповерочные интервалы.
Периодичность поверки зависит от стабильности метрологических характеристик (метрологической надежности), интенсивности эксплуатации и важности результатов, получаемых с помощью средств измерений.
Внеочередная поверка производится: при отправке средств измерений потребителю после истечения половины межповерочного интервала; в случае повреждения клейма или утери свидетельства о поверке; при вводе в эксплуатацию после длительной консервации (более одного
