Свойства оценок полученных МНК

Метод наименьших квадратов

Общие положения.

В случайной карреляционной зависим. каждому Х соответсвует не одно строго определенное значение ф-и у, а ряд распределения этой велечины.

Y_i=a + bx_i+e_I i=1,2….n--->номер наблюдения

e_i=случайной сост.не контр.

а,в- коэф. Уравнения

К корреляционная зависимость при увелич. фактор. признака ряда распред. у закономерно смещается. Ф-я у=f(x)-называется регрессией у и х.

При (e_i=0) при нулев.возд. случайной составл. состов.вместо регрессион.зависимости получ. Функциональную зависимость когда каждому аргументу х соответствует одно строго определенное значение у.

Линия регрессии показывает как с изменением х всреднем меняется у. Если имеет один результ. признак х, то регресс. называется простой(парной).Если много результ.признак х, то это множественная регрессия. В общем виде задача множественной регрессии заключ. в след. Имеется дост. мощное стат. совакупность расперд. По (m+1) признаку одна из которых у результат. а остальные факториальные необходимо найти

y=f(x₀;x₁;….;x_p) которая наилучшим образом апроксемирует исходн.стат.материал.

Задачу нахождения уравнения регрессии можно сформулировать следующим образом. Имеются стат наблюдения полученные из данных статистики или экспертных данных

Заданно уравнением регрессии

y_i=f(x_ij;a_j)

a- параметр уравнения регрессии

i=1….n

j= 0….p- номер фактра

Если бы значения х и у находились о определялись точно, то для нахождения (р+1)àа_j параметра а_j достаточно было бы иметь р+1 измерение

Однако значение у и х находяться не точно. Либо в уравнении не учитывается все взаимосвязи поэтому не какие (р+1)измерение не позволяют определить истинное значение параметров а_j и необходимо произвести знач. Большее число измерен. чем (р+1)

n>(p+1).

Для того, что бы полученные МНК – оценки параметра обладали желательными свойствами, необходимо, чтобы величина e_i=y_i-yi отвечала след. требованиям:

1.величина e_i явл. случайной величиной; _n

2.математическое ожидание e_i=0

lim= å+e_i\n

n->∞i=1

3.дисперсия ei постоянна для всех i-х e.

4.значение e_i должны не зависить друг от друга, т.е. отсутствует автокорреляция e_i

Если эти 4 условия соблюдаются, то оценки параметров, полученных методом наименьших квадратов обладабт след. св-ми:

1.оценки а_j явл. несмещенными, т.е. математич. ожидание оценки = его истинному значению

2.оценки состоятельны, т.е.дисперсия оценок параметров при росте числа наблюдений стремиться к 0.

3.оценки эффективны, т.е. имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данных параметров. Эти свойства оценок не зависят от вида (закона) распределения случайной составляющей e_I, но желательно, чтобы величина e_I распределялась по нормальному закону распределения. Это позволяет оценивать статистическую значимость полученных результатов с использованием F- критерии Фишера и t- критерий Стьюдента.