Тестирование стационарности временного ряда

Как было отмечено выше, стационарные временные ряды имеют следующие отличительные черты: значения ряда колеблются вокруг постоянного среднего значения с постоянной дисперсией, которая не зависит от времени, АКФ затухает с увеличением лага. При анализе экономических явлений чаще приходится иметь дело с нестационарными временными рядами, которые не имеют постоянного среднего, дисперсия которых зависит от времени, а АКФ затухает очень медленно. Для подбора модели ряда и прогнозирования его значений необходимо уметь распознавать тип временного ряда.

Рассмотрим процесс авторегрессии первого порядка

y (t)= my (t -1)+ e (t).

Ряд y (t) является стационарным рядом, если –1< m <1. Если m =1, то y (t) – нестационарный временной ряд – случайное блуждание со сдвигом: в этом случае считают, что временной ряд y (t) имеет единичный корень.

Вычтем y (t -1) из обеих частей модели: D y (t)= gy (t -1)+ e (t), где g = m -1.

Дики и Фуллер рассмотрели три регрессии:

D y (t)= gy (t -1)+ e (t),

D y (t)= m ₀+ gy (t -1)+ e (t),

D y (t)= m ₀+ gy (t -1)+ m ₂ t+e (t).

Вторая регрессия содержит постоянный элемент m ₀, а третья, кроме этого, и линейный временной тренд. Во всех трех регрессиях интересующий параметр g.

Нулевая гипотеза H₀: g =0 против альтернативы H₁: g <0.

Тест Дики-Фуллера (Dickey-Fuller) состоит в следующем. Оцениваются методом наименьших квадратов одно из указанных выше уравнений.

Прогнозирование

Рис. 5.11. Подход Бокса-Дженкинса

Рис. 5.12. Процесс выбора ARIMA модели

Получают оценку g, стандартную ошибку и соответствующее значение t – статистики. Сравнивая значение t- статистики с табличным, определяют, принять или отклонить H₀. Критическое значение t- статистики имеет нестандартное распределение и зависит от формы регрессии и объема выборки – см в [5].

Критические значения не изменятся, если указанные выше модели заменить авторегрессионным процессом произвольного порядка:

D y (t)= gy (t -1)++ e (t),

D y (t)= m ₀+ gy (t -1)++ e (t),

D y (t)= m ₀+ gy (t -1)+ m ₂ t+ + e (t).

Для последних моделей Дики и Фуллер предложили три дополнительные статистики для тестирования обобщенных гипотез о коэффициентах:

f ₁: H₀: g = m ₀=0.

f ₂: H₀: g = m ₀= m ₂=0.

f ₃: H₀: g = m ₂=0.

Статистики f_i конструируются как F тест: , i =1,2,3, где RSS _r и RSS _ur – квадраты ошибок короткой и длинной регрессий, g – число исключенных переменных, n – число наблюдений, k – число параметров в длинной регрессии. Большие значения f_i ведут к отклонению нулевой гипотезы. Критические значения статистик вычислены Дики и Фуллером и затабулированы.