double arrow

Теорема сложения вероятностей несовместных событий


Основные теоремы теории вероятностей

Классическое определение вероятности

Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Приведём определение, которое называется классическим.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержатся 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причём 2 из них – красные, 3 – синие и 1 – белый.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Обозначим А – появление цветного шара. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: ω1 – появился белый шар, ω2 , ω3 – появился красный шар, ω4 , ω5 , ω6 – появился синий шар. Эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий и они равновозможны. Благоприятствуют нашему событию А следующие 5 исходов: ω2 , ω3, ω4 , ω5 , ω6. Таким образом, событие А наступит, если в испытании наступит один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А.

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через p . В нашем примере всего элементарных исходов 6; их них благоприятствующих появлению события А – 5. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна р(А) = . Это число и даёт ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти.




Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу и определяется формулой

,

где – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А; – число всех элементарных исходов испытания.

Отметим следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае и p .

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае < 1, следователь

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Доказательство. Пусть общее число возможных элементарных исходов испытания; число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; число элементарных исходов, благоприятствующих событию В. Тогда, число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, по правилу суммы, равно . Следовательно,

Заметим, что:

1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий;

2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.







Сейчас читают про: