Пример
По данным о стоимости основных производственных фондов (СОПФ) и объеме валовой продукции (ВП) определить линейное уравнение связи.
Номер предприятия | СОПФ (), млн. руб. | ВП (y), млн. руб. | 2 | 2 | ||||
19,4 | 0,36 | 20,25 | ||||||
12,25 | ||||||||
30,6 | 0,16 | 6,25 | ||||||
36,2 | 27,04 | 2,25 | ||||||
41,8 | 3,24 | 0,25 | ||||||
47,4 | 73,96 | 0,25 | ||||||
2,25 | ||||||||
58,6 | 1,96 | 6,25 | ||||||
64,2 | 17,64 | 12,25 | ||||||
69,8 | 0,04 | 20,25 | ||||||
Сумма | 125,4 | 82,5 | ||||||
Среднее | 5,5 | 44,5 | 290,7 | 38,5 | 2248,7 | 44,5 |
;
.
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Следовательно, с увеличением стоимости основных фондов на 1 млн.руб. объем валовой продукции увеличивается в среднем на 5,6 млн. руб.
Проверим значимость полученных коэффициентов регрессии. Рассчитаем и :
для параметра а 0:
для параметра а 1: .
По таблице Стьюдента с учетом уровня значимости =5% и числа степеней свободы ν =10-1-1=8 получаем =2,306.
|
|
Фактические значения и превышают табличное критическое значение . Это позволяет признать вычисленные коэффициенты корреляции типичными.
Пример По данным предыдущего примера оценить тесноту связи между признаками, оценить значимость найденного коэффициента корреляции.
, или .
Значение коэффициента корреляции свидетельствует о сильной прямой связи между рассматриваемыми признаками.
Значение t расч превышает найденное по таблице значение =2.306, что позволяет сделать вывод о значимости рассчитанного коэффициента корреляции.
Пример Имеются некоторые данные о среднегодовой стоимости ОПФ (СОПФ), уровне затрат на реализацию продукции (ЗРП) и стоимости реализованной продукции (РП). Считая зависимость между этими показателями линейной, определить уравнение связи; вычислить множественный и частные коэффициенты корреляции, оценить значимость модели.
СОПФ (х 1), млн.руб. | ЗРП (х 2), в % к РП | РП (y), млн.руб. | х 1 х 2 | х 1 y | х 2 y | |||
20,36 | ||||||||
20,05 | ||||||||
24,21 | ||||||||
26,91 | ||||||||
30,54 | ||||||||
29,08 | ||||||||
33,24 | ||||||||
35,01 | ||||||||
36,25 | ||||||||
38,33 | ||||||||
S = 66 | S = 90 | S = 294 | S = 490 | S = 1018 | S = 688 | S = 2078 | S = 2880 | S = 294 |
=6,6 | =9,0 | =29,4 | – | – | =68,8 | =207,8 | =288,0 | – |
Решение. Составим систему нормальных уравнений МНК:
|
|
Выразим из 1-го уравнения системы a 0 = 29,4 – 6,6· a 1 – 9· a 2.
Подставив во 2-е уравнение это выражение, получим:
.
Далее подставляем в 3-е уравнение вместо a 0 и a 1 полученные выражения и решаем его относительно a 2 с точностью не менее 3-х знаков после запятой. Итак:
a 0 = 12,508; a 1 = 2,672; a 2 = – 0,082; = 12,508 + 2,672· х 1 – 0,082· х 2.
= = 0,884;
= = 0,777;
= = 0,893;
=0,893.
Проверим значимость r (α = 0,01 и ν = 7):
= 5,00; = 3,27.
=5,00 > t табл=3,50 – коэффициент корреляции x 1 значим;
=3,27 < t табл=3,50 – коэффициент корреляции x 2 не значим.
Произведенные расчеты подтверждают условие включения факторных признаков в регрессионную модель – между результативным и факторными признаками существует тесная связь (= 0,884; = 0,777), однако между факторными признаками достаточно существенная связь (= 0,893). Включение в модель фактора x 2 незначительно увеличивает коэффициент корреляции (= 0,884; =0,893), поэтому включение в модель фактора x 2 нецелесообразно.
Вычислим стандартизованные коэффициенты уравнения множественной регрессии:
Отсюда вычислим частные коэффициенты детерминации:
т.е. вариация результативного признака объясняется главным образом вариацией фактора x1.
Вычислим частные коэффициенты эластичности:
Проверим адекватность модели на основе критерия Фишера:
Найдем значение табличного значения F-критерия для уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν1 = 2, ν2 = 10 –2 – 1: Fтабл=4,74. Превышение значения Fрасч над значением Fтабл позволяет считать коэффициент множественной детерминации значимым, а соответственно и модель – адекватной, а выбор формы связи - правильным.