Числа с плавающей запятой

1.0011

1.1101

Основными форматами, в которых представляются целые числа, являются:

1 байт;

2 байта – слово;

4 байта – двойное слово.

8 байтов – учетверенное слово

Диапазон представления знаковых целых чисел

-2^n-1 ≤ А_зн ≤ 2^n-1-1

^{1.00…00 0.11…11}

^{n-1 n-1}

Отрицательное число по модулю на единицу больше положительного.

Для байтного формата: n = 8

-128 ≤ А_зн ≤ 127

Диапазон представления беззнаковых целых чисел

0 ≤ А_бзн ≤ 2ⁿ – 1

^{00…0 11…1}

^{n n}

Для байтного формата: n = 8

0 ≤ А_зн ≤ 255

Диапазон представления дробных чисел

Для правильной n-разрядной дроби:

2^-n ≤ |А_др| ≤ 1 - 2^-n

0.00…01 0.11…1

Неправильная дробь в целой части содержит обязательную и единственную единицу.

1 ≤ |А_др.нпр.| ≤ 2 - 2^-(n+1)

1.00…0 1.11…1

В формате представления чисел с плавающей запятой имеются три части:

• знак (представляется крайним левым битом формата)

• мантисса (представляется в виде правильной или неправильной двоичной дроби);

• порядок (представляется в общем случае как целое число со знаком).

С учетом этих частей значение числа с плавающей запятой представляется в виде:

А_пз = (-1)^signA • M_A • S^PA

signA – знак;

P_A – порядок числа;

M_A –мантисса числа А;

S – основание порядка.

Основные особенности представления чисел с плавающей запятой в современных ЭВМ

Классы ЭВМ:

• Универсальные ЭВМ – Mainframe (MF), такие как:

IBM System 370;

Модели ЕС ЭВМ: EC 1010;

EC 1065;

EC 1087.

• Мини ЭВМ, такие как:

DEC: PDP-11;

VAX-11;

Модели CM ЭВМ: СМ 1- СМ 4;

СМ 1420,…

• ПК (например, на базе процессоров Intel 80X86, Pentium)

Стандарт IEEE 754

Особенности представления чисел с плавающей запятой:

1) Мантисса представляется в прямом коде независимо от знака числа.

2) Порядок числа представляется со смещением как целое число без знака. Величина смещения обычно равна весу старшего разряда смещенного порядка или на единицу меньше его.

3) В качестве основания порядка используются:

1. Универсальные ЭВМ – S=16;

Классы: 2. Мини ЭВМ – S=2;

3. ПК – S = 2.

4) В целях повышения точности в основном используются нормализованные числа с плавающей запятой.

Определение. Число с плавающей запятой называется нормализованным, если старшая цифра его мантиссы является значащей (не 0).

5) Мантисса чисел в классах универсальных ЭВМ и мини ЭВМ является правильной дробью, а в стандарте IEEE – неправильной.

6) Использование в качестве основания порядка S=2 и использования в основном нормализованных чисел в мини ЭВМ и ПК требует, чтобы

старшая цифра мантиссы была равна 1. Старшая единица мантиссы с целью увеличения точности в формате не представляется, а лишь подразумевается, и называется скрытым разрядом (скрытой единицей).

7) В целях разумного компромисса между точностью представления и

скоростью обработки данных в ЭВМ каждого типа используется

несколько форматов:

• короткий формат (формат одинарной точности) - 32 разряда;

• длинный формат (формат двойной точности) – 64 разряда;

• расширенный формат (формат расширенной точности):

для MF и Мини ЭВМ – 128 разрядов;

для IEEE – 80 разрядов.

В классах MF и Мини ЭВМ происходит увеличение только разрядности мантиссы, в стандарте IEEE – увеличение мантиссы и порядка.

Диапазон представления чисел с плавающей запятой

Определяется в отношении модуля нормализованного числа.

M_Amin S^PAmin ≤ ‌‌‌‌‌‌‌‌| A_{п.т. норм} ‌‌‌‌‌‌‌‌| ≤ M_Amax S^{P Amax}

Для классов: