Тема 7. Двоичная арифметика с плавающей запятой

1. Сложение и вычитание чисел с плавающей запятой

Сложение и вычитание выполняются идентично, но в случае вычитания необходимо изменить знак второго операнда на противоположный. Операция вычитания чисел A и В с плавающей запятой начинается с изменения знака вычитаемого В на противоположный, после чего выполняется последовательность действий сложения чисел А и (- В).

Особенностью арифметики с плавающей запятой является то, что операции над двумя составляющими чисел с ПЗ – мантиссами и порядками операндов – выполняются раздельно.

При сложении двух чисел поразрядные цифры мантисс слагаемых должны иметь одинаковый вес. Это требование в свою очередь выполняется тогда, когда слагаемые имеют одинаковые порядки. Следовательно, чтобы сложить два числа с плавающей запятой, нужно, прежде всего, произвести выравнивание их порядков.

Алгоритм сложения двух чисел с произвольными знаками сводится к выполнению следующей последовательности действий:

1) производится сравнение порядков р_А и р_B слагаемых А и В путем вычитания порядка р_B второго слагаемого из порядка р_А первого слагаемого или наоборот. Для вычитания порядков знак р_B меняется на противоположный и далее порядки складываются по правилу сложения целых чисел, при этом отрицательный порядок вступает в операцию сложения в дополнительном или обратном коде. Разность р = р_A - р_B указывает, на сколько разрядов надо сдвинуть вправо мантиссу числа с меньшим порядком. Если р = р_A - р_B > 0, то р_A > р_B и для выравнивания порядков необходимо сдвинуть вправо мантиссу М_B второго слагаемого. Если же р = р_A - р_B < 0, то р_A < р_B и для выравнивания порядков необходимо сдвинуть вправо мантиссу М_A первого слагаемого. В случае р = р_A - р_B = 0 слагаемые имеют равные порядки;

2) мантисса числа с меньшим порядком сдвигается вправо на р разрядов. Если в процессе сдвига мантисса обращается в 0, в качестве результата операции берется другой операнд;

3) выполняется сложение мантисс чисел с равными порядками по правилу сложения правильных дробей, при этом отрицательная мантисса вступает в операцию сложения в дополнительном или обратном коде. В результате выполнения операции сложения может получиться нулевое значение мантиссы. В этом случае имеет место ситуация потери значимости мантиссы, и результат операции принимается равным нулю;

4) если при сложении мантисс произошло переполнение (в знаковом разряде оказалась старшая цифра суммы, т.е. произошло нарушение нормализации влево), производится нормализация путем сдвига мантиссы суммы вместе со знаковым разрядом вправо на один разряд с увеличением порядка на единицу. При этом в знаковый разряд мантиссы суммы записывается знак результата, т.е. выполняется арифметический сдвиг. В процессе нормализации возможно переполнение порядка. В этом случае операция прекращается и формируется признак переполнения. Если же после сложения мантисс мантисса суммы стала меньше 0,5 (в абсолютном значении мантиссы суммы после запятой оказались нули, т.е. произошло нарушение нормализации вправо), мантисса суммы сдвигается влево на количество разрядов, занятых нулями. Одновременно из порядка р результата вычитается число, равное этому количеству нулей. При нормализации результата возможно исчезновение порядка (потеря значимости порядка).

2. Умножение чисел с плавающей запятой

При умножении чисел А и В с плавающей запятой мантисса произведения М_P определяется путем перемножения мантисс сомножителей М_P = М_AМ_B. Порядок произведения р_P определяется путем сложения порядков сомножителей р_P = р_A + p_B. Если используется смещенный порядок, то в полученной сумме будет содержаться удвоенное смещение, поэтому из нее необходимо вычесть величину смещения. Результатом действий с порядками может стать как переполнение порядка, так и потеря значимости.

Перемножение мантисс сомножителей выполняется по правилу умножения правильных дробей. Знак произведения определяется путем суммирования по модулю два знаковых разрядов мантисс.

Поскольку мантиссы сомножителей нормализованы, абсолютное значение мантиссы М_P заключено в следующих пределах: 0,01₍₂₎ ≤ | М_P | < 1, т.е. может иметь место нарушение нормализации вправо не более чем на один разряд. После перемножения мантисс сомножителей результат при необходимости нормализуется путем сдвига значащих разрядов мантиссы М_P на один разряд влево и вычитания единицы из порядка р_P. При нормализации результата возможно исчезновение порядка (потеря значимости порядка).

3. Деление чисел с плавающей запятой

При делении чисел A и В с плавающей запятой мантисса частного М_Q определяется путем деления мантиссы делимого на мантиссу делителя М_Q = М_A / М_B. Порядок частного определяется путем вычитания порядков операндов р_Q = р_A - p_B. Если используется смещенный порядок, то вычитание порядков приводит к удалению смещения из порядка результата. Следовательно, для получения смещенного порядка результата к разности должно быть добавлено смещение. После выполнения этих действий необходима проверка на переполнение порядков и потерю значимости.

Деление мантиссы делимого на мантиссу делителя выполняется по правилу деления правильных дробей. При этом положительный остаток в результате пробного вычитания модуля мантиссы делителя из модуля мантиссы делимого дает единицу в разряде целой части, которая не вызывает формирования признака переполнения разрядной сетки. Знак частного определяется путем суммирования по модулю два знаковых разрядов мантисс операндов.

Поскольку мантиссы делимого и делителя нормализованы, абсолютное значение мантиссы частного М_Q заключено в следующих пределах: 0,1₍₂₎ < |МЧ| < 10₍₂₎, т.е. может иметь место нарушение нормализации влево не более чем на один разряд. После деления мантисс операндов результат при необходимости нормализуется путем сдвига мантиссы вместе со знаковым разрядом вправо на один разряд с увеличением порядка р_Q на единицу. В процессе нормализации возможно переполнение порядка.