Коэффициент эмпирического корреляционного отношения

характеризует тесноту связи между результативным и факторным признаками.

Для получения представления о форме распределения строят графики распределения (полигон и гистограмму). Число наблюдений, по которому строится эмпирическое распределение, обычно невелико и представляет собой выборку из исследуемой генеральной совокупности. С увеличением числа наблюдений и одновременно уменьшением величины интервала зигзаги полигона начинают сглаживаться, и в пределе мы приходим к плавной кривой, которая называется кривой распределения.

В статистике исследуются различные виды распределения. Как правило, они одновершинные. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Появление двух и более вершин говорит о необходимости перегруппировки данных с целью выделения более однородных групп.

Симметричным называется распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны между собой. Простейший показатель ассиметрии основан на соотношении показателей центра распределения: чем больше разность между средней арифметической и модой (медианой), тем больше ассиметрия ряда.

Показатель ассиметрии:

или .

Для сравнения ассиметрии в нескольких рядах используют относительный показатель ассиметрии.

или

Величина может быть положительной и отрицательной. Если , то на графике такой ряд будет иметь вытянутость вправо (правосторонняя ассиметрия), если , то вытянутость влево (левосторонняя ассиметрия).

Рис. 7. Правосторонняя ассиметрия

Рис. 8. Левосторонняя ассиметрия

Рассчитывается также показатель характеристики крутости распределения. Это показатель эксцесса. При одной и той же средней арифметической эмпирический ряд может быть островершинным или низковершинным по сравнению с кривой нормального распределения. Показатель эксцесса отражает эту особенность:

Если > 0, то эксцесс считают положительным (распределение островершинно), если < 0, то эксцесс считается отрицательным (распределение низковершинно).

Рис. 9. Положительный эксцесс

Рис. 10. Отрицательный эксцесс

Среди различных кривых распределения особое место занимает нормальное распределение. Нормальное распределение на графике представляет собой симметричную колоколообразную кривую, имеющую максимум в точке . Эта точка является модой и медианой. Точка перегиба у нормальной кривой находится на расстоянии ±от . Кривая нормального распределения выражается уравнением Лапласа

где t – нормированное отклонение .

Установлено, что если площадь, ограниченную кривой нормального распределения, принять за 100%, то можно рассчитать площадь, заключенную между кривой и любыми двумя ординатами. Установлено, что площадь между ординатами, проведенными на расстоянии с каждой стороны от , составляет 0,683 всей площади. Это означает, что 68,3% всех частот (единиц) отклоняются от не более, чем на , т.е. находятся в пределах . Площадь, заключенная между ординатами, проведенными на расстоянии 2от в обе стороны, составляет 0,954, т.е. 95,4% всех единиц совокупности находятся в пределах . 99,7% всех единиц находятся в пределах . Это правило трех сигм, характерное для нормального распределения.

Нормальное распределение характерно для явлений в биологии и технике. В экономике чаще встречаются умеренно ассиметричные распределения.

Имея дело с эмпирическими распределениями, можно предположить, что каждому эмпирическому распределению соответствует определенная, характерная для него теоретическая кривая. Знание формы теоретической кривой может быть использовано в различных расчетах и прогнозах. Для этого необходимо определить:

общий характер распределения;

по эмпирическим данным построить теоретическую кривую;

определить, насколько эмпирические частоты близки теоретическим.

Введем обозначения:

, ,

где – 2,7182 (основание натурального логарифма)

– 3,14.

Для построения теоретической кривой нормального распределения по эмпирическим данным необходимо найти теоретические частоты

где - константа;

h – ширина интервала;

- табулированная величина, которая находится по отклонениям t.

Последовательность расчета теоретических частот следующая:

§ рассчитывается средняя арифметическая ряда

§ рассчитывается среднее квадратическое отклонение

§ находится

§ по найденным t по таблице находится

§ рассчитывается

§ каждое значение умножается на .

К числу важнейших теоретических распределений относится распределение Пуассона, которое характерно для редких явлений, причем с увеличением значения x вероятность их наступления падает.

Графически оно имеет следующий вид

Рис. 11. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона имеет следующий вид:

, где

Тогда

Нахождение теоретических частот при выравнивании ряда по распределению Пуассона производится в следующем порядке:

· находится средняя арифметическая,

· по таблице определяется

· для каждого значения х определяется теоретическая частота.

Для оценки случайности или существенности расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределений в статистике пользуются рядом критериев.

Одним из основных критериев, служащих для сравнения частот эмпирического и теоретического распределений, является критерий согласия Пирсона (- квадрат)

где - эмпирические частоты;

- теоретические частоты.

Для оценки близости эмпирического распределения к теоретическому определяется вероятность достижения этим критерием данной величины. Если > 0,05, то отклонения фактических частот от теоретических считаются случайными, несущественными. Если <0,05, то отклонения – существенные, а эмпирическое распределение – принципиально отличное от теоретического. Значения вероятностей табулирования в зависимости от и числа степеней свободы . Для нормального распределения , для распределения по кривой Пуассона: . Зная расчетное , сравниваем его с табличным (предельным). Если фактическое > табличного, то расхождение между частотами эмпирического и теоретического распределений нельзя считать случайным. Если фактическое < табличного, то расхождение можно считать случайным, а рассматриваемое теоретическое распределение подходящим для описания эмпирического распределения.

Критерий Романовского определяется

где - критерий Пирсона;

- число единиц степеней свободы.

Если данный критерий , то расхождения нельзя считать случайными. Если же он < 3, то расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными.

А.Н.Колмогоров предложил критерий, основанный на сопоставлении распределения накопления накопленных частостей (частот).

где d – максимальная разность между накопленными частостями эмпирического и теоретического рядов распределения, а N – число единиц совокупности. Если же распределение задано в частотах, то