Так как затраты времени, необходимые для изготовления одной детали, являются величиной обратно пропорциональной выработке, то для каждой группы рабочих по выработке можно определить соответствующую трудоемкость:
Выработка, шт./час | Количество рабочих | Затраты времени на деталь, час/шт. |
1/6 1/10 1/12 |
Средние затраты времени, необходимые для изготовления одной детали, являются величиной обратно пропорциональной средней выработке, т.е.:
час/шт.
Обозначим через: - затраты времени, необходимые для изготовления детали i-ой группой рабочих; - количество выделенных групп рабочих по трудоемкости; - количество рабочих, относящихся к i-той группе по трудоемкости; - средние затраты времени, необходимые для изготовления одной детали. Тогда в общем виде формулу для определения средних затрат времени, необходимых для изготовления одной детали, можно записать:
.
Данная формула получила название средней гармонической взвешенной.
Для определения среднего значения интервального ряда распределения по одной из рассмотренных формул в качестве величины принимается середина соответствующего интервала. Среднее значение интервала рассчитывается по формуле средней арифметической, т.е. как полусумма значений нижней и верхней границ интервала. В случае если ряд распределения имеет первый (последний) открытый интервал, то его необходимо закрыть. Для этого определяют длину последующего (предыдущего) интервала и считают, что закрываемый интервал имеет такую же длину. Тем самым находят нижнюю (верхнюю) границу открытого интервала, т.е. закрывают его.
|
|
Выбор той или иной формулы для определения средней величины зависит от экономического смысла усредняемого признака.
Средней арифметической величине присущи следующие математические свойства:
1) произведение средней величины на сумму частот ряда распределения равно сумме произведений каждого значения изучаемого признака на соответствующую ему частоту:
;
2) сумма отклонений каждого значения изучаемого признака от средней величины равна нулю:
;
3) сумма квадратов отклонений каждого значения изучаемого признака от средней величины всегда меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой величины:
;
4) уменьшение или увеличение каждого значения изучаемого признака на одну и туже величину приводит к изменению средней на эту величину:
;
5) уменьшение или увеличение каждого значения изучаемого признака в одно и тоже число раза приводит к изменению средней величины в это же число раз:
или ;
6) уменьшение или увеличение частоты каждого значения изучаемого признака в одно и тоже число раз не приводит к изменению средней величины:
|
|
.
5.2. Для определения средней арифметической величины часто используется метод моментов (метод отсчета от условного нуля).
В основе этого метода лежат математические свойства средней арифметической, согласно которым, уменьшение (увеличение) всех значений признака на одну и туже величину или уменьшение (увеличение) в одно и тоже число раз, приводит к изменению средней на эту величину или в это же число раз.
Согласно методу моментов среднюю арифметическую рассчитывают по формуле:
,
где - i-тое значение признака или середина i-го интервала;
- значение признака (середина интервала), имеющего наибольшую частоту (условный нуль);
- общий множитель для всех значений признака или их отклонений от условного нуля (для ряда с равными интервалами принимается длина интервала);
- частота i-го значения признака или частное от его сокращения на наибольший общий делитель .
Пример 5.5. По данным о выпуске продукции предприятиями отрасли (столбцы 1 и 2 таблицы) определить по методу моментов среднегодовой объем выпуска продукции.