Понятие союзной системы координат

Союзная система координат и ее связь с основной

Введем аффинную систему координат с полюсом в точке и базисными векторами, совпадающими с .

Эта система координат называется союзной по отношению к исходной, т.е. основной, системе координат с базисом и полюсом в точке .

Матрицу метрических коэффициентов союзной системы будем обозначать , а элементы этой матрицы — , .

Так что будем иметь:

, , .

Пусть — координаты вектора в союзной системе координат, и — координаты этого вектора в основной системе координат, другими словами - его контравариантные координаты.

Покажем, что координаты вектора в союзной системе совпадают с его ковариантными координатами, т.е. справедлива формула

, . (1.5.20)

Действительно, по определению координат вектора в союзной системе можем записать

.

Умножая это равенство скалярно на , слева (по определению ковариантных координат вектора ) будем иметь

,

где — -я ковариантная координата вектора .

Учитывая (1.5.17):

(1.5.17)

справа получим

.

Таким образом, равенства (1.5.20) доказаны.

7.3.2. Связь между матрицами и

Докажем справедливость соотношения

. (1.5.21)

Действительно, для любого вектора можем записать

. (1.5.22)

Умножая (1.5.22) последовательно (для ) скалярно на , получим

, .

Эта система в матричном представлении имеет вид:

. (1.5.23)

Умножая (1.5.22) последовательно (для ) скалярно на , находим

, .

Соответственно, в матричном представлении имеем:

.

Подставляя в левую часть соотношение (1.5.23), придем к системе

,

где — единичная матрица размерности .

В силу произвольности вектора получаем

.

Отсюда следует справедливость соотношения (1.5.21)

. (1.5.21)

Докажем следующее утверждение.

Прежде чем формулировать его, проделаем построения:

· по заданной исходной основной системе координат построим союзную систему;

· построенную союзную систему возьмем в качестве новой основной;

· по ней построим систему, союзную к этой новой основной.