Рис.14
Рис.13
Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком углом между этими полуплоскостями, который назовем углом поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси ), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е.
.
Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .
Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем, что
или .
Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, >0, а когда по ходу часовой стрелки, то <0.
|
|
Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмерная.
Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен || и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.14). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.
Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Если за промежуток времени угловая скорость тела изменяется на величину , то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет. В пределе при найдем,
или .
Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.
Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2 (с-2).
Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины и имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.
|
|
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом
.
Направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и (рис.14,а), противоположно при замедленном вращении (рис.14,б).
Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (=const), то вращение тела называется равномерным. Найдем закон равномерного вращения. Из формулы имеем .
Отсюда, считая, что в начальный момент времени t =0 угол , и беря интегралы слева от до , а справа от 0 до t, получим окончательно
.
Из равенства следует, что при равномерном вращении, когда
и .
В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость между n об/мин и 1/с. При одном обороте тело повернется на угол , а при n оборотах на ; этот поворот делается за время t = 1 мин = 60 сек. Из равенства следует тогда, что
.
Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным , то вращение называется равнопеременным. Найдем закон равнопеременного вращения, считая, что в начальный момент времени t =0 угол , а угловая скорость (- начальная угловая скорость).
Из формулы имеем . Интегрируя левую часть в пределах от до , а правую - в пределах от 0 до t, найдем ,
или .
Вторично интегрируя, найдем отсюда закон равнопеременного вращения
.
Если величины и имеют одинаковые знаки, то вращение будет равноускоренным, а если разные - равнозамедленным.