Момент инерции зависит не только от массы, но и от распределения масс относительно оси вращения

Лекция №6

Динамика вращательного движения

  Момент импульса материальной точки относительно точки О (начала отсчета, координат)- векторная величина,  равная векторному произведению радиуса- вектора на импульс тела.

    (1)

 

Из векторной алгебры известно, что  направлен в соответствии с правовинтовой системой перпендикулярно плоскости вращения

h- плечо импульса ( из центра вращения на линию, по которой направлен импульса тела).

 

Если частица движется в центральном поле сил, то есть действует консервативная сила (спутник относительно центра Земли)

1.Вектор скорости    параллелен  импульсу.

                      2.Радиус-вектир параллелен  силе.

                                                                                                                                               

                                                                 

 

 

Запишем для тела момент импульса и продифференцируем его:

 

Введем физическую величину, являющуюся вращательным аналогом силы.

Момент силы

h- плечо силы.

Величина и направление и зависит от выбора начала отсчета.

Уравнение динамики вращательного движения материальной точки.

т.к. v параллельна p и sinα=0

  (2)  

Вращающий момент силы, действующий на тело равен скорости изменения его момента импульса.

Рассмотрим замкнутую систему из n тел. Запишем уравнение (2) для каждого тела системы и просуммируем

 

                                         

Следовательно

Суммарный момент импульса замкнутой системы тел не изменяется.

(примeр с фигуристкой)

Момент силы относительно оси вращения.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

 

Разобьем тело на элементы массы

- момент инерции тела относительно оси вращения.

 Пусть  

 

 

Аналогия с динамикой поступательного движения.

             

 

 

Момент инерции зависит не только от массы, но и от распределения масс относительно оси вращения

(маятник Обербека).

                                                          

Момент инерции диска (сплошной цилиндр). Ось вращения перпендикулярна плоскости диска.

  Пусть   - плотность, толщина и радиус диска. Тогда

 

 

Аналогично и для других тел. Легко, если тело симметричное и ось вращения проходит через центр массы тела.

 

Для сплошного шара –

Для обруча (тонкостенного цилиндра) –

Для стержня -

Диск радиуса R и массой m

вращается относительно оси

        проходящей по краю

диска перпендикулярно его

плоскости и параллельной

оси, проходящей через центр

массы диска.

 

 

Теорема Штейнера.