Теоретическое введение к работам 1. 4, 1. 5, 1. 6

Вращательным движением абсолютно твердого тела называется движение, при котором все его материальные точки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.

Основное уравнение динамики для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, имеет вид:

,                               (4.1)

где М - момент силы, действующей на тело, β- угловое ускорение, J- момент инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции характеризует инерционные свойства тела.

Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы m точки на квадрат кратчайшего расстояния r до оси вращения:

                              (4.2)

Момент инерции измеряется в кг·м². Момент инерциитвердого тела равен сумме моментов инерции отдельных элементарных объемов, из которых состоит это тело:

          (4.3)

Если плотность тела во всем объеме постоянна, т.е. тело однородно, и если тело имеет правильную геометрическую форму, то вычисление моментов инерции относительно главных осей (проходящих через центр масс) можно осуществить при помощи интегрирования. В учебной литературе приводятся формулы для вычисления моментов инерции диска, шара, обруча, стержня и др.

Если известен момент инерции тела относительно главной оси, то можно определить момент инерции относительно любой другой оси, параллельной данной, по теореме Штейнера

J=J_C+ ma²               (4.4)

где J_C - момент инерции относительно оси ОО, проходящей через центр масс С;

m - масса всего тела;

O'О' – произвольная ось, относительно которой вычисляется момент инерции; a - расстояние между осями ОО и O'О' (рисунок 4. 1).    

   Моментом силы относительно неподвижной оси называется произведение силы F на плечо ℓ:

M=F·ℓ.                                    (4.5)

   Плечом ℓ силы называется кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы. Момент силы измеряется в Н·м.

Момент импульса относительно оси вращения каждой точки тела равен

  L _i = m _i v _i r _i.                               (4.6)

где r_i - радиус окружности, описываемой каждой точкой тела, v_i -ее скорость v _i= ω·r_i, где ω - угловая скорость вращения тела.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц

                  (4.7)

.Основное уравнение динамики вращательного движения с учетом (4.7) можно записать в виде

                        (4. 8)