2018-03-09
481
Таблицы значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса составляются для углов от 
до 
(или от 0 до 
). Это объясняется тем, что их значения для остальных углов сводятся к значениям для острых углов.
Задача. Вычислить 
и 
.
Заметим, что 
. Следовательно, при повороте точки Р(1;0) вокруг начала координат на 
точка совершит два полных оборота и ещё повернётся на угол 
, т.е. получится та же самая точка М, что и при повороте на (рис. 1). Поэтому 
.
Построим точку 
, симметричную точке 
относительно оси 
(рис. 2). Ординаты точек и одинаковы, а абсциссы различаются только знаком. Поэтому 
.
Ответ: 
.
Рис. 1 Рис. 2
При решении задачи 1 использовались равенства
(1)
(2)
Равенства (1) верны, так как при повороте точки Р(1;0) на угол 
, получается та же самая точка, что и при повороте на угол 
.
Следовательно, верны формулы
(3)
Равенства (2) являются частными случаями формул
(4)
Докажем формулу 
Применяя формулу сложения для синуса, получаем 
.
Аналогично доказывается и вторая из формул (4), которые называются формулами приведения. Вообще, формулами приведения для синуса называют следующие шесть формул:
(5)
Следующие шесть формул называют формулами приведения для косинуса:
(6)
Формулы (5) и (6) справедливы при любых значениях .
Задача 2. Вычислить 
.
Используя первую из формул (3), получаем
.
Если в формуле приведения угол вычитается из числа или прибавляется к этому числу, взятому нечётное число раз, то приводимая функция меняется на конфункцию; если же число взято чётное число раз, то название приводимой функции сохраняется. Знак перед приведённой функцией ставится такой, каков знак приводимой функции в соответствующей четверти, если считать угол острым.
Результат этих вычислений представим в таблице
| Функция | 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 
| 
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. Найти значение 
.
Решение. Ясно, что 
. По таблице находим (7-ой столбец, 2-я строка): 
Можно было бы представить как 
, и найти его значение по таблице на пересечении 8-го столбца и 2-ой строки.
Пример 4. Привести к тригонометрической функции острого угла:
а) 
; б) 
; в) 
.
Решение.
а) 
;
б) 
;
в) 
Формулы приведения запоминать необязательно. Для того чтобы записать любую из них, можно руководствоваться следующими правилами:
1) В правой части формулы ставится тот знак, который имеет левая часть при условии 
.
2) Если в левой части формулы угол равен 
или 
, то синус заменяется на косинус, тангенс – на котангенс и наоборот. Если угол равен 
, то замены не происходит.
Например, покажем, как с помощью этих правил можно получить формулу приведения для 
. По первому правилу в правой части формулы нужно поставить знак «-», так как если , то 
, а косинус во второй четверти отрицателен. По второму правилу косинус нужно заменить на синус, следовательно, 
.
Итак, формулы (3), (7) и формулы приведения позволяют свести вычисление синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к вычислению их значений для острого угла.
Упражнения
1. Найти острый угол , при котором выполняется равенство:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
2. Используя формулы приведения, вычислить:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
; 11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
; 15) 
; 16) 
.
Упражнения
- Замените каждую из данных тригонометрических функций функцией
углов, меньших 
:
а) 
; б) 
; в) 
.
2. Замените каждую из данных тригонометрических функций функцией углов, меньших :
а) 
; б) 
; в) 
.
3. Замените каждую из данных тригонометрических функций функцией углов, меньших :
а) 
; б) 
; в) 
.
4. Найдите:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
5. Преобразуйте все тригонометрические функции каждого из следующих углов:
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
.
Пример:
6. Найти область определения функции 
. Является ли эта функция чётной?
7. Построить графики функций 
на отрезке 
. Для каждой из этих функций найти значения 
из данного отрезка, при которых 
.
Таблица зависимостей углов поворота от длин отрезков:
| рад | 0 | 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
| 
|
| град | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 |
|
| 0 | 
| 
| 
| 1 | 
|
|
| 0 | 
| 
| 
| -1 |
|
| 
|
|
| 1 | 
| 
| 
| 0 | 
|
| 
| -1 |
|
|
| 0 | 
| 
|
|
|
| 0 | 
| 1 | 
| - | 
| -1 | 
| 0 | 
| 1 | 
| - | 
| -1 | 
|
|
| - | 
| 1 | 
| 0 | 
| -1 |
| - |
| 1 |
| 0 |
| -1 |
|
Вопросы для самоконтроля:
- Что называется радианом?
- Как перевести градусную меру угла в радианную и, обратно, как перевести радианную меру угла в градусную?
- Как определяются тригонометрические функции числового аргумента?
- Какие знаки имеют тригонометрические функции в координатных четвертях?
- Какие тригонометрические функции являются чётными, а какие нечётными?
- Что называется периодом функции? Какие периоды имеют тригонометрические функции?
- Какими соотношениями связаны тригонометрические функции одного и того же аргумента?
- Сформулируйте теоремы для синуса суммы и разности двух углов.
- Сформулируйте теоремы для косинуса суммы и разности двух углов.
- Сформулируйте теоремы для тангенса суммы и разности двух углов.
- Сформулируйте теоремы для котангенса суммы и разности двух углов.
- Как выражаются тригонометрические функции двойных углов?
- Как выражаются тригонометрические функции половинных углов?
- По каким формулам преобразуются суммы и разности тригонометрических функций в произведения?
- По каким формулам преобразуются произведения тригонометрических функций в суммы и разности?
- Сформулируйте формулы приведения.
- Как построить графики тригонометрических функций?
- Перечислите обратные тригонометрические функции, области их определения и области значений.
- По каким формулам находятся решения простейших тригонометрических уравнений?
- Какие методы решения тригонометрических уравнений вы знаете?
