П.3Модификация МПИ – метод Зейделя

Рассмотрим не матричную, а формальную запись МПИ:

Итак, получаем следующие формулы для МПИ:

       (2.7)

В методе Зейделя в отличие от МПИ при вычислении координат вектора  будем использовать не только лишь координаты вектора  с предыдущего шага, но и уже найденные координаты вектора .

(2.8)

Метод Зейделя сходится при условии  (как и МПИ). Сходится немного быстрее, но в целом скорость сходимости, как и в МПИ, не хуже геометрической прогрессии со знаменателем .

Можно также использовать формулу из следствия 2.7.

Оценка трудоемкости решения СЛАУ различными методами:

Сравним метод Гаусса и МПИ:

Гаусс -

МПИ - , где n  – размер матрицы, N – количество итераций.

Если N велико, а n – мало, то метод Гаусса выгоднее.

Если же N – не очень большое, а n – велико (размер матрицы большой, но сходится довольно быстро), тогда выгоднее итерационный метод.

Замечание:

на практике метод Гаусса очень плохо работает с матрицами больших размеров, а итерационные методы одинаково успешно справляются с матрицами любых размеров. С другой стороны метод Гаусса работает всегда, а МПИ работает при условии , т.е. применим не для всех СЛАУ.

Вывод: для решения некоторых СЛАУ выгоднее использовать точные методы (метод Гаусса), а для некоторых – приближенные.

Тема 3. Методы решения нелинейных уравнений (НУ) и систем нелинейных уравнений (СНУ).

П.1 НУ и СНУ.

Будем рассматривать только системы, где количество уравнений совпадает с количеством неизвестных (как и в СЛАУ).