Вторая теорема Больцано-Коши

Первая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то она ограничена на этом отрезке. .

Вторая теорема Вейерштрасса.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наименьшего (наибольшего) значения.

Первая теорема Больцано-Коши.

Функция , тогда

Доказательство: [a,b] разделим пополам и получим отрезки [a,a+b/2] и [a+b/2,b]. Из них выберем тот, на концах которого ф-ция принимает значения, разные по знаку и обозначим [a1,b1], f(a1)*f(b1)<0. С этим отрезком поступим так же. [a1,a1+b1/2] и [a1+b1/2,b1]. Выберем отрезок с разными по знаку концами. Когда-нибудь получим отрезок . . При , . Получим систему вложенных отрезков . Если при делении отрезка пополам значение функции в середине отрезка равно нулю, то теорему можно считать доказанной. Система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет одну общую точку => существует точка С. Докажем, что f(с)=0. Предположим, что . Для определенности f(c)>0. Т.к. ф-ция непрерывна на отрезке [a,b], то она непрерывна в точке С. Раз f(c)>0, то ; - притиворечие, что и треб. доказ.

Вторая теорема Больцано-Коши.

Пусть непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, (, тогда для любого числа С: .

Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C.

1) F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций.

2) F(a)*F(b)<0

По первой теореме Б-К .

Билет №22.

Доказать первое достаточное условие экстремума функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в окрестности точки С. Для того, чтобы точка С являлась точкой локального экстремума, достаточно чтобы при переходе значений аргумента через точку С производная функции меняла знак с “+” на “-” – локальный максимум, с “-” на “+” – локальный минимум.

Доказательство: Рассмотрим точку х из указанной окрестности, тогда на :

3. - непрерывна.

4. на - дифференцируема.

По т. Лагранжа , где , т.к. , то

на : где ,

Вывести 1 замечательный предел:

Пусть , .

Ясно, что , но

, т.е.

, т.к. .

Билет №23.

Доказать второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция определена и имеет в окрестности точки с производную до n-го порядка включительно, причем в самой точке с все производные до (n-1)-го порядка включительно равны 0, а n-ая производная в точке С отлична от нуля. Если n – четное, тогда С – точка локального экстремума, в частности, если , то x=c – локальный минимум, если , то x=c – локальный максимум.

Доказательство: Запишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано с центром в точке С.

, где - б.м.ф. при . Пусть n – четное, тогда не меняет знак при переходе через С. в которой функция сохраняет знак своего предела. , . . , если - точка локального экстремума.

Вывести уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

С геометрической точки зрения значении производной в данной точке x=a равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ции в точке М(a,f(a)). Из аналит. геометрии известно, что уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку M(a,f(a)) имеет вид: .

Прямую, проходящую через точку М, перпендикулярно касательной называют нормалью к графику функции в точке М. Если , то уравнение нормали имеет вид: .

Предельное положение секущей при называют касательной к графику функции в точке М. .

Билет №24.

Доказать теорему Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть ф-ции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в , представляют собой б.м.ф. при , причем в . Если .

Доказательство: Рассмотрим { . Доопределим по непрерывности данные функции нулем в точке a (f(a)=0, g(a)=0). Тогда на [a, ] функции f(x) и g(x) непрерывны, на (a; ) f(x) и g(x) дифференцируемы. По теореме Коши при по условию теоремы >

Замечание 1: точка а может быть бесконечной, тогда или Формулировка: пусть f(x) b g(x) определены и дифференцируемы на и представл. б.м.ф. при , причем Если