Вторая теорема Больцано-Коши

1 2 3

Пусть непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значения B и A, (, тогда для любого числа С: .

Доказательство. Рассмотрим F(x)=f(x)-C.

3) F(x) непрерывна на отрезке, как разность двух непрерывных функций.

4) F(a)*F(b)<0

По первой теореме Б-К .

Билет №26.

Доказать теоремы Ролля и Ферма.

Пусть дана функция .

1. Определена и непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале .

3. И на концах отрезка принимает одинаковые значения.

Тогда существует точка , принадлежащая отрезку .

Доказательство: Т.к. функция непрерывна на отрезке , то согласно 2 теореме Вейерштрасса она достигает своего минимального и максимального значения.

, ,

, .

Случаи:

1. , - любое из интервала

2. в силу 3-го условия теоремы, одно из значений минимального или максимального достигается функцией во внутренней точке отрезка .

Согласно второму условию теоремы Ролля, функция дифференцируема на интервале в любой точке, то по теореме Ферма существует .

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть . ; ; Т.к. .

Вывести формулу для производной обратной функции.

Пусть функция y=f(x) строго монотонна (возрастает или убывает) в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в точке , тогда - дифференцируемая в точке .

Доказательство: Рассмотрим , пусть - приращение аргумента обратной функции в точке , тогда функция получит приращение , в силу строгой монотонности функции.