Додавання двох взаємно перпендикулярних гармонійних коливань

Якщо матеріальна крапка може робити коливання як уздовж осі  , так й уздовж перпендикулярної до неї осі з однаковою частотою  , то при одночасному коливанні уздовж цих осей коливання описуються рівняннями

, , (3)

де  й  - амплітуди коливань,  - різниця фаз (фазове зрушення) коливань. Якщо із цих рівнянь виключити час, то після деяких перетворень можна одержати рівняння траєкторії руху крапки, що має вигляд:

(4)

Це рівняння еліпса. Матеріальна крапка описує цей еліпс за час, рівний періоду коливань, що складають. Орієнтація еліпса і його розміри залежать від амплітуд   й b коливань, що складають, і різниці фаз.

    Рівняння (3) справедливо не тільки для коливань матеріальної крапки. Так наприклад, подаючи змінну електричну напругу  на вхід  і напругу  тієї ж частоти на вхід  осцилографа, можна змусити світлову пляму на екрані осцилографа робити коливання як уздовж осі , так й уздовж осі . На екрані осцилографа буде відображатися траєкторія руху цієї плями - еліпс. На мал.4 показаний вид еліпса для деякої частки випадку. 

 З рівняння (4) треба, що при  

 або  .

Отже, по виду еліпса можна визначити  й фазове зрушення . Слід зазначити, що визначити знак , а отже й знак фазового зрушення, по виду еліпса звичайно буває неможливо, оскільки при великій частоті коливань неможливо простежити,  чи рухається світлова пляма уздовж еліпса по годинній стрілці або проти. Тому в роботі будемо визначати   й фазове зрушення тільки по модулі. Відповідно до позначень, прийнятими на мал.4

,      (5)

Оскільки складають коливання, що, подаються на різні входи осцилографа, коефіцієнти підсилення в каналах яких можуть бути різними, відношення амплітуд  коливань світлової плями може не збігатися з відношенням амплітуд напруг, що подаються на входи осцилографа. Однак при вимірі фазового зрушення по формулі (5) треба знати амплітуду коливань світлової плями тільки уздовж осі . Амплітуда коливань уздовж осі   може бути кожний.

   Аналіз помилки виміру фазового зрушення цим методом показує, що найбільш кращим є випадок, коли  . Цього можна досягти, регулюючи коефіцієнти підсилення відповідних підсилювачів реального осцилографа або кнопки керування віртуального осцилографа в Electronic Workbench.