Симетрия в комбинаторных упражнениях на плоскости

Поворот. Трансляция. Подобие

В древности понятие симметрии отождествлялось с понятием соразмерности, равновесия, гармонии. В широком современном употреблении понятие симметрии связывается обычно со зрительным образом, формой, содержащей одинаковые (как минимум две) или подобные части. На аналогичном представлении базируется подход к понятию симметрии в современной теории художественной композиции. Причем характерно, что в большинстве современных определений делается акцент на связь симметрии с художественными понятиями, критериями, идеями, Следует привести определение симметрии, данное Е.С. Федоровым в его книге "Учение о симметрии", изданной в 1691 году (С.Пб.). «Симметрическою фигурою называется такая, которая непосредственно может быть совмещена с самой собою в разных положениях, или же совмещение в разных положениях может быть произведено, если мы заменим ее другой, которая относится к ней как изображение в зеркале к изображаемому предмету».

По определению А. В. Щубникова, приведенному в книге "Симметрия и антисимметрия конечных фигур" СМ., 1951г., «симметрия — это фигура, состоящая из равных и однообразно расположенных частей». Как видим, в данном случае понятие симметрии складывается из понятий о фигуре, о равенстве фигур и об однородном их расположении.

Как видно из определений понятия «симметрия» человек пришел через эстетическое осознание явлений природы, через использование симметрии в художественном творчестве.

Итак, симметрия — это свойство формы. Оно заключается в ее способности сохранять постоянство относительно определенных преобразований. Существует всего три вида (основных) способа преобразования, часто называемых операциями симметрии или "самосовмещениями". Это — зеркальное отражение, поворот и параллельный перенос (или подобие). Эти способы преобразования были известны многим народам с древнейших времен. Они владели представлением о симметрии в широком смысле — как об эквиваленте уравновешенности и гармонии.

Наиболее известная и часто встречающаяся в природе разновидность симметрии — это отражение. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно "видит", но обращает пространственный порядок: правая рука у вашего двойника в зеркале в действительности является левой, пальцы на ней расположены в обратном порядке. Продолжая эту аналогию, можно сказать, что зеркальной симметрией обладает все допускающее раздвоение на две зеркально равные половины.

Зеркальная (осевая) симметрия возникает при вращении фигуры вокруг оси симметрии. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду, куда ни глянь: в листьях и цветах, растениях, архитектуре, орнаментах и т.д. Более того, зеркальная симметрия свойственна телам почти всех живых существ. Важность понятия зеркальной симметрии вряд ли можно переоценить. Оно имеет фундаментальное значение для математической теории симметрии, но роль его в науке несравненно шире.

Обычно, когда говорят о симметрии, имеют в виду зеркальную симметрию или достаточно хорошее приближение к ней. Однако отражение в зеркале — лишь один из немногих способов повторения фигуры, приводящей к возникновению симметрического узора. Остроумное расположение двух зеркал предложил сэр Дэвид Брюстер, выпустивший в 1819 году небольшую книжку с изложением истории, теории и конструкции незадолго до того изобретенного им прибора. Свое детище сэр Дэвид назвал калейдоскопом.

В калейдоскопе симметрия создается за счет оптического отражения произвольного мотива. При помощи двух зеркал, пересекающихся под выбранным углом, можно создать изящную конфигурацию, обладающую поворотной и зеркальной симметрией.

Если два зеркала не пересекаются, а расположены параллельно друг другу, то возникает изображение зеркального типа. Вместо орнамента с элементами, расположенными по кругу, мы получаем бесконечно повторяющийся узор, напоминающий ленту из ткани. Плоский узор можно построить и при помощи трех зеркал, если составить из них трехгранную призму.

С четырьмя зеркалами мы можем построить узор, неограниченно повторяющийся в двух независимых направлениях. С шестью зеркалами, образующими грани прямоугольного параллелепипеда, можно построить "узор", неограниченно повторяющийся по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Узор этого типа представляет особый интерес, но чтобы увидеть его, нам пришлось бы каким-то образом проникнуть внутрь самого узора, такой узор трехмерен, поэтому его не встретишь в плоских орнаментах. И все же недоступная глазу трехмерная симметрия окружает нас со всех сторон.

Любой неограниченно повторяющийся узор (одномерный, двумерный или трехмерный) непременно обладает элементом симметрии третьего типа: повторяемость в пространстве через определенное расстояние. Такая симметрия известна под названием трансляции, или параллельного переноса. Паркетные полы, узоры на обоях, кружевные ленты, кристаллические структуры, обладают трансляционной симметрией в том смысле, что образуют узоры, не имеющие естественных границ. Трансляцию можно комбинировать с отражением или поворотом, при этом возникают новые операции симметрии. Например, поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на заданное расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию. Винтовой симметрией обладает расположение листьев на стебле многих растений.